Z-преобразование и дискретно-временное преобразование Фурье. Вариант 9, страница 4

                       

Рис.22. Проведем фильтрацию сигнала фильтром с  частотной характеристикой  и .

                        

Рис.23.  Графики амплитудных спектров сигнала после прохождения его через фильтр с частотной характеристикой   и (слева направо).

                       

Рис.24. Проведем фильтрацию сигнала фильтром с  частотной характеристикой  и .

                        

Рис.25.  Графики амплитудных спектров сигнала после прохождения его через фильтр с частотной характеристикой   и (слева направо).

Комментарий: описание сигнала, отфильтрованного системой с инвертированной ЧХ, приведены в таблице 2:

Таблица 2. Описание отфильтрованного сигнала для соответствующей ЧХ фильтра.

ЧХ фильтра	Описание звукового сигнала, полученного с выхода фильтра
	Шум приглушен, полезный сигнал слышен хорошо.
	Полезный сигнал слышен плохо, так как фильтр не погасил низкочастотные составляющие шума, а наоборот, усилил их.
	Сигнал после фильтра почти не изменился, лишь стал немного звонче, т.к. низкие частоты немного погасились.
	Сигналы на входе и выходе фильтра практически идентичны по звучанию.
	Полезный сигнал на выходе стал вдвое громче, слышен отчетливее. Шум присутствует, высокочастотный шелест.
	Низкие частоты усилены, сигнал приглушен, почти не слышен.
	Полезный сигнал слышен хорошо на фоне высокочастотного шума.
	Полезный сигнал заглушен мощной низкочастотной шумовой волной.

Вывод по работе:          В данной работе понятия Z-преобразования и ДВПФ приобрели практический смысл:

1. были произведены непосредственные вычисления Z-преобразований различных сигналов (единичного импульса, единичной последовательности и дискретного косинуса), в ходе которых стало ясно, что Z-преобразование необходимо рассматривать только вместе с его областью сходимости, т.к. в некоторых случаях, когда сигнал определен для бесконечного числа значений, как, например, единичная импульсная последовательность, то Z-преобразование для неё может и не существовать:  - ряд будет расходиться при ;
2. с помощью средств Matlab, а точнее с помощью функций  и , были вычислены прямые и обратные Z-преобразования, а также полученные результат подтверждены аналитическими расчётами с использованием свойств Z-преобразования: линейности, масштабирования, умножения на  во временной области и др.;
3. было вычислено обратное Z-преобразование методом разложения на простые дроби: , что позволило на основании табличных преобразований и свойства запаздывания быстро получить результат:  ;
4. С помощью Z-преобразования было решено линейное разностное уравнение: , следуя строго определённому алгоритму, было получено искомое решение:
• взятие Z-преобразования: ;
• поиск решения в z-области: ;

вычисление обратного Z-преобразования:

;

5. при непосредственном вычислении ДВПФ дискретного сигнала  получилось, что ДВПФ – это ряд Фурье по переменной , а коэффициентами этого ряда являются значения дискретного сигнала: ;
6. при вычислении ДВПФ сигнала  было показано, что так же, как и для ряда Фурье, с увеличением дискретных значений сигнала (значений коэффициентов ряда) модуль  сходиться к модулю предела . На рис.1 при  видны колебания в амплитудном спектре, но уже на рис.2 при  увеличении  до  амплитудный спектр сходится к модулю предела  и представляет собой гладкую линию без пульсаций;

7. были построены АЧХ и ФЧХ  двух систем, каскадное соединение которых имеет частотную характеристику равную единицы. На рис.4 и рис.5. из графиков видно, что АЧХ и ФЧХ этих двух систем симметричны друг относительно друга. При каскадном соединении двух этих систем, на выходе второй системы будет получен такой же сигнал, как и на входе первой системы. Т.е. на выходе каскада будет то же самое, что и на его входе, что и подтверждается экспериментально: на выходе первой системы - сглаженный в начале прямоугольный сигнал, на выходе второй системы – исходный сигнал;
8. с помощью средств Matlab была произведена обработка звуковых сигналов, а с помощью ДВПФ полученные звуковые сигналы удалось проанализировать, было выяснено, что при прохождении сигнала с шумами через фильтр с частотной характеристикой вида , где , происходит усиление низких частот. При прохождении сигнала с шумами через фильтр с частотной характеристикой вида , где , происходит усиление высоких частот. Так как в данном случае полезный сигнал был высокочастотным, то в случае прохождения через фильтры с ЧХ  результаты оказались лучше.

Что касается фильтров с инвертированными ЧХ, то ситуация противоположная.