Z-преобразование и дискретно-временное преобразование Фурье. Вариант 9

НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ  АВТОМАТИКИ  И  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ  ТЕХНИКИ

Кафедра  Систем Сбора и Обработки Данных

Дисциплина  «Теория  и  обработка  сигналов»

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА  № 8

Z-преобразование и дискретно – временное преобразование Фурье

Группа:   АО-41          

Вариант: 9                                                                                                     Преподаватель:

Студент: Блохин А.А.                                                                                   доц. Щетинин Ю.И.

2008

Цель работы:     изучение  Z – преобразования и дискретно – временного преобразования  Фурье (ДВПФ),  их вычисления  в среде Matlab.

Выполнение работы:

1.Z–преобразование и дискретно – временное преобразование Фурье.

Z-преобразование играет важную роль при анализе и проектировании дискретных систем. Так, например, главная характеристика любой цифровой системы - передаточная функция есть отношение Z-преобразований  выходного и входного сигнала, также Z-преобразование эффективно используется для решения линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.

Каузальному сигналу , т.е. определённому для , Z-преобразование ставит в соответствие функцию комплексной переменной :

.          (1)

Формула (1) есть одностороннее прямое Z-преобразование.

Переход от Z-преобразования  к сигналу  во временной области выполняется с помощью обратного (инверсного) Z-преобразования:

.    (2)

Здесь интегрирование выполняется по контуру , охватывающему все особые точки (полюса) . Наряду с прямым вычислением контурного интеграла для нахождения обратного Z-преобразования используются также другие способы: разложение Z-преобразования в степенной ряд и использование разложения Z-преобразования на простые дроби.

Таким образом,

.

Если рассматривать  на единичной окружности (принадлежащей области сходимости Z-преобразования) в плоскости , где  , то формулы прямого (1) и инверсного (2) Z-преобразований трансформируются в пару выражений ДВПФ:

,             (3)

.       (4)

Формула (3) – прямое ДВПФ, комплексная функция действительной переменной . Здесь дискретному сигналу  ставится в соответствие непрерывная функция .

Формула (4) – обратное ДВПФ. Сигнал  представляется в виде непрерывной суммы комплексных гармоник с бесконечно малыми амплитудами, пропорциональными .

Таким образом, ДВПФ представляет собой частный случай Z-преобразования на единичной окружности комплексной z-плоскости.

2.  Поиск Z–преобразования сигналов

а)        ,

б)       ,
в)       .

а) Z-преобразование сигнала единичного импульса:

Область сходимости: вся z-плоскость.

б) Z-преобразование единичной импульсной последовательности:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (знаменатель ) .

.

Полюс  - точка .

Область сходимости:  - внешность окружности единичного радиуса.

в) Z-преобразование дискретного косинуса :

По формуле Эйлера:

Проводя аналогичные рассуждения можно получить, что если  (), то Z-преобразование:

Согласно свойству линейности Z-преобразования: , тогда

Область сходимости:  - внешность окружности единичного радиуса.

Комментарий:     Как видно из расчётов, Z-преобразование единичного импульса есть точка на z-плоскости: , т.к. функция  не зависит от комплексной переменной , то совершенно очевидно, что областью сходимости (область, где Z-преобразование сходится) будет являться вся z-плоскость. Для единичной импульсной последовательности и дискретного косинуса, очевидно, что степенные ряды будут сходиться (а, следовательно, и Z-преобразование будет существовать) только в том случае, если , т.е. областью сходимости для них будет являться внешность окружности единичного радиуса. Таким образом, можно сделать вывод, что Z-преобразование сигнала необходимо рассматривать только вместе с его областью сходимости.

3.        Поиск Z-преобразования сигналов с помощью функции ztrans().

а)       ,

            б)        ,

            в)        .

- вычисляет  Z–преобразование символьной функции.

а) Z-преобразование последовательности :

syms a w n

X=ztrans(a.^n*cos(w*n))

X =(z/a-cos(w))*z/a/(z^2/a^2-2*z/a*cos(w)+1)

б) Z-преобразование последовательности :

syms n

y=ztrans(n.^2*exp(2*n))

y =z*exp(2)*(z+exp(2))/(z-exp(2))^3

в) Z-преобразование последовательности :

syms n

y= ztrans(cos(n).^2)

y=(z^2+z-3*z*cos(1)^2+cos(1)^2)*z/(z^3+z^2-4*z^2*cos(1)^2-z+4*z*cos(1)^2-1)

Комментарий:     Matlabявляется мощным инструментом для вычисления Z-преобразований.

4.        Определение сигналов во временной области по их Z-преобразованию с использованием функции iztrans().

а)

б)

- вычисляет  функцию из  Z–преобразования этой функции.

а) Сигнал, имеющий Z-преобразование :

syms z

y= iztrans(z*(z+1)/(z-1).^3)

y =n^2

б) Сигнал, имеющий Z-преобразование:

syms z

y= iztrans((z.^2-0.2*z-0.8)/(z.^2-0.3*z-0.1))

ans =8*charfcn[0](n)-36/7*(-1/5)^n-13/7*(1/2)^n

charfcn[0] – единичный импульс, где ненулевое значение только в точке равной нулю.

 

Комментарий:        Средства Matlab позволяют также получить обратное Z-преобразование, т.е. вид сигнала во временной области.

5.        Обратное Z-преобразование разложением на простейшие дроби.

Z-преобразование имеет вид: .

Функция  выполняет разложение на простые дроби рациональной Z-функции  с вектором коэффициентов полинома числителя num и вектора коэффициентов полинома знаменателя den. Результат функции: r – вектор вычетов, p – вектор полюсов, k – вектор коэффициентов целой части разложения.

num = [0,1,0.8];

den = [1,-0.3,-0.1];

[r,p,k] = residuez(num,den)

r =       3.7143                                    p =      0.5000                                 k =    -8

4.2857                                               -0.2000

Полученному результату отвечает разложение на простые дроби вида

Поскольку , то  и , а т.к. , то .

Таким образом, обратное Z-преобразование: .

Комментарий:     Функция комплексной переменной  очень часто имеет вид рациональной функции вида: . В данном случае порядок многочлена числителя не равен порядку многочлена знаменателя (,), т.е.  представляет собой правильную дробь. Каждый член разложения на простейшие дроби вида  даёт во временной области составляющую , а постоянная составляющая  - . Воспользовавшись свойством линейности Z-преобразования, получается искомая последовательность. Метод разложения на простые дроби по сравнению с непосредственным вычислением контурного интеграла чаще всего оказывается более удобным и эффективным способом  для вычисления обратного Z-преобразования от  , представляющей собой рациональную дробь.

6. Решение линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами с помощью Z–преобразования.

Линейное разностное уравнение имеет вид:

Беря Z-преобразование от уравнения, с учётом свойства временного сдвига:  получается:

Z-преобразование входного сигнала:

 Решение в Z-области (с учётом начальных условий ):

Для вычисления обратного Z-преобразования от  применяется метод разложения на простые дроби.

Воспользуемся функцией residuez:

num = [1,0,0];

den = [1,-0.1,-0.06];

[r,p,k] = residuez(num,den)

r =

    0.6000

    0.4000

p =

    0.3000

   -0.2000

k =[]

Разложение на простые дроби имеет вид:

Обратные Z-преобразования:

Решение уравнения во временной области имеет вид:

Комментарий:        Как видно из примера, одной из областей применения Z-преобразования на практике является решение линейных разностных уравнений. При этом алгоритмом решения будет являться: