Задачи к практическим занятиям № 1-7 по дисциплине "Высшая математика" (Случайные события. Пространство элементарных событий. Операции над событиями. Построение доверительных интервалов. Проверка параметрических гипотез), страница 14

Задача №3.  Размер деталей подчинен закону нормального распределения с математическим ожиданием 15 мм и дисперсией 0,25 мм2. Определить ожидаемый процент брака, если допустимые размеры деталей находятся в пределах от 14 до17 мм.

Задача №4.  Ошибка измерения расстояния до цели с помощью радиолокационной станции имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием 1 м и среднеквадратическим отклонением 10 м. Найти вероятность того, что ошибка измерения дальности

a)  не превысит по абсолютной величине 15 м;

b)  будет положительной.

Задача №5.  Номинальное (паспортное) сопротивление некоторого резистора составляет 1 кОм. Фактическое же сопротивление резистора с вероятностью 0,9 принадлежит интервалу 1 кОм ±10%. Предполагая, что фактическое сопротивление резистора имеет нормальный закон распределения, найти

a)  среднеквадратическое отклонение величины фактического сопротивления резистора;

b)  вероятность того, что оно превысит значение 1,1  кОм.

Задача №6.  Производится измерение частотомером, имеющим нормальный закон распределения ошибки измерения с нулевым математическим ожиданием. Определить среднеквадратическое отклонение ошибки, если вероятность того, что ошибка не превосходит 3 кГц (в рассматриваемом диапазоне измерений), равна 0,2.

Задача №7.  Считается, что отклонение толщины кварцевой пластинки, используемой для резонатора, от номинального значения является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Систематические отклонения толщины от номинала отсутствуют. Зная, что номинальная толщина равна 2 мм, а среднее квадратичное отклонение – 0,001 мм, определить, какую толщину пластинки можно гарантировать с вероятностью 0,8.

Задача №8.  Предполагается, что время наработки на отказ некоторого устройства имеет нормальный закон распределения со средним значением 36 месяцев и среднеквадратическим отклонением 11 месяцев. Каков может быть срок гарантийного обслуживания устройств, если завод-изготовитель допускает в среднем

a)  5 % бесплатных ремонтов;

b)  10 % бесплатных ремонтов?


Практическое занятие №5 (второй семестр)

Тема: «Примеры решения инженерных задач, сводящихся к анализу числовых характеристик случайных величин»

План:

§ Повторение лекционного материала (свойства основных числовых характеристик);

§ Проверка отсутствующих;

§ Результаты контрольной работы №2;

§ Решение задач;

§ Выдача домашнего задания.

Задача №1. Вывести свойства математического ожидания случайной величины. M[c]=c;   M[cx]=c×M[x];   M[x+h]=M[x]+M[h] (без док-ва);   M[x–h]=M[x]–M[h];   M[x+c]=M[x]+c;   M[x–c]=M[x]–c;   ;   M[c–x]=cM[x];  M[x*h]=M[x]*M[h]+Kxh (из корреляционного момента);   M[x2]=M2[x]+D[x] (из корреляционного момента x и x).

Задача №2. Вывести свойства дисперсии случайной величины. D[c]=0;   D[cx]=c2×D[x];   D[x+h]=D[x]+D[h] (для некоррелированных величин, без док-ва);   D[x–h]=D[x]+D[h];   D[x+c]=D[x];   D[x–c]=D[x];   D[c–x]=D[x];  D[x*h]=D[x]*D[h] (для независимых величин).

Задача №3. Парадокс точности измерения длин/напряжений.

Предположим, что нужно найти длину двух стержней с помощью двух измерений. Измерительный прибор даёт результат со случайной ошибкой, имеющей стандартное отклонение s. Оказывается, измерение каждого стержня в отдельности не является лучшим способом. Стандартное отклонение результата будет меньше, если сначала измерить общую длину стержней (T), а затем найти разницу их длин (D). Тогда приближенные длины стержней соответственно равны: (T+D)/2 и (TD)/2. Стандартное отклонение этих длин равно s/sqrt(2), что меньше, чем s.

Задача №4.а. Распределение минимальной величины среди двух величин, имеющих показательный закон распределения.

Задача №4.б. Распределение максимальной величины среди двух величин, имеющих показательный закон распределения.