Проектирование дорог для движения транспортных потоков как путь повышения эффек­тивности работы автомобильных дорог. Взаимодействие автомобилей в транспортном потоке. Макроскопические теории транспортного потока, страница 49

где Кх(0) — значение автокор­реляционной функции при на­чальных условиях.

Автокорреляционная функция постепенно приближается к ну­лю (рис. IV. 10, б), показывая, что функции скоростей некоррелируются и что частотная состав­ляющая функция скорости в ос­новном имеет низкую частоту, около 1,5 колеб./с. Это также видно из рис. IV. 11.

Для одновременного качест­венного описания функций скоро­стей обоих автомобилей могут быть использованы [107]: взаим­ная корреляционная  функция, взаимная  спектральная  плот­ность, функция когерентности.

Взаимно - корреляционная функция Кху(t) описывает зави­симость одной функции скорости от другой:

                                              К xy(t) = ,                                                       (1У.22)

На рис. IV.11 показана нор­мализованная взаимно-корреля­ционная функция, существующая между функциями  изменения скорости переднего и заднего ав­томобилей. Эта функция отложе­на в зависимости от времени за­паздывания в колонне автомоби­лей. Максимальную величину эта функция имеет при t=14с.


Рис. IV. 10. Функции, характеризую­щие случайное взаимодействие авто­мобилей, движущихся в режиме сле­дования за лидером:

а — спектральная плотность; б — авто­корреляционная функция; ; — передний

Рис. IV. 11. Взаимно автокорреляци­онная функция

Рис. 1У.12. Функция когерентности:

 к—номер волны


Взаимная спектральная плот­ность вычисляется по формуле

                                                                                                                            (1У.23)

Функция когерентности  имеет вид

                                                                                                                  (IV.24)

Эта   функция   показывает связь двух функций (в рассмат­риваемом случае функций изме­нения скорости во времени переднего и следующего за ним автомобиля). Независимость функций имеет место при = 0, полная связь при = 1. Функция когерентности уменьшается с ростом номера волны (рис. 1У.12).

Применение описанного математического аппарата теории слу­чайных функций позволяет более детально исследовать взаимодей­ствия внутри колонны автомобилей. Особый интерес представляют уравнения (IV. 19) — (1У.21), используемые для оценки распрост­ранения возмущения внутри колонны автомобилей, определения расстояния в колонне, на которое распространяется возмущение, и определения оптимальной длины колонны автомобилей. Боль­шие возможности открывает применение теории обратной связи.

Лекция 7

IV. 5. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ТРАНСПОРТНОГО ПОТОКА

Наряду с динамическими моделями, описывающими движения и взаимодействие отдельных автомобилей, возможна разработка теоретических моделей, позволяющих дать общую оценку макро­скопических явлений, происходящих в потоке автомобилей [100, 115], который рассматривается как сплошная среда, состоящая из большого числа близко расположенных друг к другу автомоби­лей. Для математического описания состояния движущегося пото­ка автомобилей как сплошной среды необходимо использовать следующие основные законы: уравнение состояния потока автомо­билей; уравнение неразрывности; закон сохранения количества движения; закон сохранения энергии. Рассмотрим основные урав­нения для движения потока автомобилей высокой плотности.

Уравнение состояния потока автомобилей. Под уравнением состояния потока автомобилей как сплошной среды понимают уравнение, связывающее между собой интенсивность N. плотность q и скорость v движения потока автомобилей,

                                                                             N= qv.                                                                          (1У.25)

Уравнение неразрывности. Это уравнение основано на принци­пах закона сохранения масс. При анализе потока автомобилей рас­сматривается постоянство общего числа автомобилей во времени, т. е. dn/dt = 0. Изменение общего числа автомобилей на участке дороги dS может происходить как в результате изменения плотно­сти q, так и в результате изменения интенсивности. Этим объяс­няются две составляющих в уравнении (IV. 26).