Математические методы теории принятия решений: Курс лекций, страница 50

f₁(P_с - P₂×X₂)                              (3)

Отсюда максимальная стоимость груза для предметов первого и второго типа ( для варианта n = 2) составит значение:

f₂×(P_с) = max [f₁(P_с - P₂×X₂) + C₂×X₂]          (4)

При этом, значение: 0 £ X₂ £ P_с / P₂                   (5)

3.  Для стоимости, при загрузке тремя типами груза (n = 3), получим формулу:

f₃×(P_с) = max [f₂(P_с - P₃×X₃) + C₃×X₃]          (6)

При этом, значение: 0 £ X₃ £ P_с / P₃                   (7)

4.  Следовательно, для любого конечного значения n предметов можно записать:

f_n×(P_с) = max [f_n-1(P_с - P_n×X_n) + C_n×X_n]                (8)

При этом, значение:         0 £ X_n £ P_с / P_n          (9)

Обращаем ваше внимание на то, что число предметов можно интерпретировать, как число шагов по объектам любой природы. Это значит, что в рекуррентной формуле (8) заложен алгоритм решения любых распределительных задач. К их числу относятся: транспортные перевозки, планирование производственной программы, распределение и замена оборудования, производство и хранение продукции, поставки сырья, распределение нагрузки по генераторам электростанций и другие.

Полученные результаты по этому алгоритму для нашей задачи следует сопоставить с решением этой же задачи для линейной целевой функции:

Z = S P_j×X_j ® max                                       (10)

Ограничение относится только к грузоподъемности самолета:

34×X₁ + 28×X₂ + 25×X₃ £ 100                       (11)

Решение задачи (10) – (11) дает следующее: Для нецелочисленных переменных значение Z = 294,12 денежных единиц. Оптимальные значения переменных X₁ = 2,941; X₂ = 0; X₃ = 0.

Для целочисленных переменных значение Z = 270 денежных единиц. Оптимальные значения переменных X₁ = 2; X₂ = 1; X₃ = 0. Причем, в запасе остается еще 4 кг груза.

Метод Гамильтона – Якоби – Беллмана имеет глубокие математические обоснования [9]. Различают два понятия: программа управления и синтез. Программа управления отождествляется с принятием решений на перспективу и возможной потери свойств оптимальности. Синтез – отслеживание и принятие оперативных решений без потери свойств оптимальности. Синтез обеспечивает определение оптимального управления экономикой в каждый момент времени для любого состояния экономики и для любых начальных условий.

Для непрерывных переменных метод Гамильтона – Якоби - Беллмана позволяет отыскивать оптимальные решения путем решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Весь вычислительный процесс при этом опирается на теорему о достаточных условиях оптимальности.

Для дискретных переменных (и многошаговых процедурах) используются рекуррентные функциональные уравнения типа (8). Приведем следующий пример решения оптимизационной задачи и покажем ее преимущества для качества информационных ресурсов.

Пример. Управление ресурсами для экономического развития четырех заводов.

Каждому из четырех заводов (n = 4) запланирован прирост продукции в количестве g_i (x) в зависимости от суммы выделенного капитала . Требуется распределить общую сумму выделенного капитала  между заводами так, чтобы общий прирост выпуска продукции  был максимальным.

Алгоритм решения

1. Если выделенные финансы направить только одному заводу (), то  будет максимально-возможным приростом продукции на этом заводе (соответственно выделенной сумме ). Поскольку каждому отвечает конкретное значение выпуска , можно записать:

                    (12)

2. Если финансы распределяются между двумя заводами (), и заводу №2 выделяется сумма , то заводу №1 достанется сумма (). Поэтому и прирост продукции для завода №2 будет , а максимально возможный выпуск продукции на заводе №1 составит .

3. Общий прирост выпуска продукции на двух заводах будет равен сумме:

                      (13)

4. Оптимальному значению  прироста продукции при распределении  финансов между двумя заводами соответствует такое , при котором сумма правой части (13) — максимальна:

           (14)

5. Аналогично выражению (14) можно записать формулу для вычисления , и т.п. Это значит, что оптимальное значение  прироста продукции при распределении финансов для всех  заводов можно описать формулой: