Математические методы теории принятия решений: Курс лекций, страница 23

Результат моделирования. Определение наилучших значений выпуска продукции, объема перевозок для удовлетворения потребительского спроса при минимальных совокупных производственных затратах.

Неоклассическая модель экономического роста Солоу

Мощным фактором развития экономических систем являются инвестиции, определяющие рост производственных мощностей и величину национального дохода.

Обозначим капиталовооруженность x = K/L            (1)

В формуле (1) K, L - соответственно объемы основных производственных фондов и трудовых ресурсов.

Изменения параметров формулы (1) во времени будут:

                         (a)

dK/dt =                         (b)

                        (c)

Прологарифмировав (1), получим:

ln x = ln K - ln L                                       (2)

Дифференцируя (2) и учитывая (a), (b), (c), получим:

                                      (3)

В обычной записи для производственной функции, связывающей выходной параметр Y с основными факторами производства K и L:

Y = f (K, L)                                                (4)

Выходной параметр Y производственной деятельности содержит непроизводственное потребление С и инвестиции I:

Y = C + I                                                    (5)

Тогда постоянное значение доли накопления капитала можно записать так:

b = (Y - C) / Y                                                    (6)

Изменение величины накопленного капитала будет:

                                                          (7)

Величина постоянного темпа прироста n трудовых ресурсов записывается как:                                                     (8)

С учетом (8) выражение (3) можно представить в виде:

                                           (9)

Учитывая (6) и (7), преобразуем формулу (9):

                                 (10)

или                                   (11)

Окончательно, выражение (9) будет иметь вид:

                                             (12)

Приравняв к нулю dx/dt, можно определить оптимальное значение равновесного темпа прироста n_p занятости трудовых ресурсов:

n_p = b × f(x*) / x*                                        (13)

В точке x = x* обеспечивается устойчивое (постоянное) равновесное состояние экономики.

Экономические параметры Y, K, C, I на траектории равновесного состояния экономики изменяются пропорционально изменению трудовых ресурсов L. Если во времени изменяется значение L(t):

L(t) = L₀ × exp( n × t ),                                          (14)

то и основные показатели экономики будут изменяться:

Y = f(x*) × L₀ × exp( n × t ),

K = x* × L₀ × exp( n × t ),                             (15)

C = (1 - b)×f(x*)× L₀ × exp( n × t ),

I = b × f(x*) × L₀ × exp( n × t ) .

Запишем производственную функцию Кобба –Дугласа:

Y =Y₀×K^a× L^1-a                                            (16)

В формуле (16) Y_o - первоначальное значение выходного параметра производственной деятельности, а величина a характеризует изменение параметра Y при однопроцентном изменении величины инвестиций (коэффициент эластичности замещения капитала).

Если учесть коэффициент выбытия капитала d (вследствие амортизации капитала) и темп прироста трудовых ресурсов n, то выражение (12) можно записать в виде:

dx / dt = S × f(x) - (d + n) × x                        (17)

или           dx / dt = S × Y_o × x^a - (d + n) × x                   (18)

Критерием успешного развития экономики является величина удельного (на одного работающего) потребления с.

На траектории устойчивого состояния экономики величина с связана с размером x* капиталовооруженности:

с* = f(x*) - (n + d) × x*                                (19)

Формулы (18) и (19) дают основание для определения оптимального значения нормы накопления b*, при которой удельное потребление с* будет максимальным.

Дифференцирование с* и b с последующим приравниванием к нулю выражения [(1 - b) × b^a/(1-a) ]' = 0                                  (20)

дает следующий результат:      b* = a                        (21).