Регулярные функции. Дифференцируемые функции. Условия Коши — Римана. Геометрический смысл производной, страница 8

uu                      U1. 11. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ

Функция w==f(z), заданная на множестве Е и отображаю­щая Е на Е', является однолистной на Е тогда и только тогда, когда обратная функция z=h(w) однозначна на множестве Е'.

2. Примеры однолистных отображений.

Пример 1. Линейная функция

w=/(z)=az+b,                      (1)

где а, Ь — комплексные постоянные (а ¥= 0), однолистна во всей комплексной плоскости, так как обратная функция

z=h(w)=-^l-w--^b-                     (2)

^\ '      а          а                                   ' '

однозначна.

Функция (1) отображает взаимно однозначно расширенную комплексную плоскость z на расширенную комплексную плос­

кость w. При этом точка z = °о переходит в точку w = °°, а со­ответствие между конечными точками плоскостей z и w опреде­ляется формулами (1), (2).

Рассмотрим случай 6=0. Тогда

w==az,                        (3) откуда

\w\ == lal Izl, arg w = arg a + arg z.             (4)

Из равенств (4) следует, что отображение (3) сводится к по­добному растяжению плоскости z в lal раз с центром подобия в начале координат и повороту всей плоскости вокруг точки z = 0 на угол а = arg а. При отображении (3) луч arg z == (р пе­реходит в луч argw=(p+a, а окружность |z|=r—в окруж­ность \w\ = \а\г (рис. 34). Круг |z| <R при этом отображении переходит в круг \w\ < \a\R.

Если lal =1, т. е. а == е'°, то преобразование (3) есть поворот плоскости на угол а. В частности, преобразование w = iz есть

поворот на угол л/2, а преобразование w = —z есть поворот на угол я.

§ 8. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ           67

Преобразование (1) есть суперпозиция преобразований

S=la|z, т^е¹"'", w=t+&.

Поэтому преобразование w = az + Ъ можно осуществить, выпол­нив в указанном порядке следующие преобразования:

а) подобное растяжение плоскости z в Ы раз (центр подо­бия — в точке 2=0);

б) поворот плоскости ^ вокруг точки t = 0 на угол а = arg а;

в) параллельный перенос (сдвиг) плоскости т на вектор

ъ.  п

Пример 2. Функция

ц,=4                               (5)

отображает взаимно однозначно расширенную комплексную плос­кость z на расширенную комплексную плоскость w (обратная функция z == 1/w однозначна). При этом точке z=0 соответству­ет точка w = °°, а точке z = °° — точка w = 0. Луч arg г = (р переходит при отображении (5) в луч arg w = —<р, окружность Izl = г — в окружность \w\ == 1/г, круг |z| < R — на область

\w\>i/R. Q

Пример 3. Рассмотрим функцию

w=z\                           (6)

Если z\ = z^, то либо Zi = г;, либо

Zi=-zz.                          (7)

Две точки, связанные равенством (7), симметричны относитель­но начала координат. Следовательно, функция w = z², однолистна в области D в том и только в том случае, когда эта область не содержит ни одной пары точек, симметричных относительно точ-

;•>*