Регулярные функции. Дифференцируемые функции. Условия Коши — Римана. Геометрический смысл производной, страница 15

Следствие 1. Для того чтобы функция /(z) была регу­лярна в области D, необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируема в этой области.

Таким образом, в области D понятия дифференцируемое™ и регулярности эквивалентны. Отсюда и из свойств дифференци-

§ 12. СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ               91

руемых функций (§ 7), в частности, вытекает, что если функции /(z) и g(z) регулярны в области D, то их сумма, произведение и частное (при условии ^(2)^0) также регулярны в области D.

Аналогично, если функция /(z) регулярна в области D, а функция F(w) регулярна в области G и если множество зна­чений функции w==f(z) (z<=D} принадлежит области G, то функция Ф(г)= F i[/(z)] регулярна в D.

Из доказательства теоремы 1 вытекает

Следствие 2. Ряд (4) заведомо сходится в круге |z—a|< < Ri, где Ri — расстояние от точки z == а до границы области D, в которой функция /(z) дифференцируема.

Поэтому радиус сходимости степенного ряда (4) не меньше, чем .Ri.

Следствие 3. Если функция f{z) регулярна в круге К:

iz—а| < R, то она представляется рядом Тейлора

f^^i^^-^

П=0

сходящимся во всем круге К.

Следствие 4. Если функция /(z) регулярна в точке z = а, то она регулярна в некоторой окрестности этой точки.

Доказательство. Регулярная функция /(z) представля­ется в некотором круге К: \z — а\ < р сходящимся рядом (4) и, следовательно, дифференцируема в этом круге (§ 11, теоре­ма 2). Но по теореме 1 функция /(г) регулярна в круге К. Это означает, что если Zo s К, то

00

/(z)=S c„(z-z„)".

n=0

Полученный ряд сходится в некотором круге Iz—Zol<pi, pi ё» d, где d — расстояние от точки Zy до границы круга К.

Замечание 1. Функция, дифференцируемая в точке z=a, не обязана быть регулярной в этой точке, так как регулярная в точке z == а функция дифференцируема не только в самой точке z = я, но и в некоторой ее окрестности. Так, функция /(z)=z² дифференцируема только при z=0 (§ 7, пример 3, в) п поэтому не является регулярной в точке z == 0.

2. Бесконечная дифференцируемость регулярной функции. Теорема 2. Если функция f{z) дифференцируема в обла­сти D, то она бесконечно дифференцируема в этой области. Имеет место формула

^-sJi^r^, ^D,           (6)

^т?

зде •Yp— граница круга \t, —z\ss; р, лежащего в области D.

92                        ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ

Доказательство. По теореме 1 функция /(z) регулярна в области D. Пусть z = a е D. Так как функция /(z) регулярна в точке z == а, то

/(z)= icn(z-a)»,                     (7) n=o

где ряд (7) сходится в некотором круге lz—а|<р (р>0). Согласно теореме 2 § 11 ряд (7) можно почленно дифференци­ровать в круге |z—а|<р любое число раз и, в частности (см. формулы (13) § 11),

Со=Ж, сп=^    (n=i,2, ...).            (8)

С другой стороны,

_/(^)_J_ Г   /(£)   ^ ^сп- п\ -2лJ(£_a)"+l"^ь'

Тр-

откуда, заменив а на г, получаем формулу (6).

Из этой теоремы, в частности, следует, что производная ре­гулярной функции есть регулярная функция.

Замечание 2. Равенство (6) формально получается и» интегральной формулы Коши

.^_1Г/_Щ^

^{1 \z}'   2ni j £ - z ' v

если продифференцировать ее левую и правую части п раз.

Замечание 3. Если функция /(z) дифференцируема в ок­рестности точки а, то она регулярна в точке а (теорема 1) и представляется степенным рядом, который является рядом Тей­лора для /(z) (§ 11, следствие 3). Таким образом, формальный ряд Тейлора

2^-»)"

п=о

для функции /(z), дифференцируемой в окрестности точки а» сходится к этой функции в некоторой окрестности точки а. Ана­логичное утверждение для функций действительного перемен­ного не имеет места. Например, функция

fe-V< x^=0,

/^(о,   х^о

всюду дифференцируема и имеет все производные в точке х == О, равные нулю, и, следовательно, все коэффициенты ряда Тейло­ра для f(x) в точке х == 0 равны нулю, однако /(а:)^0.