Регулярные функции. Дифференцируемые функции. Условия Коши — Римана. Геометрический смысл производной, страница 5

§ 7. УСЛОВИЯ КОШИ—РИМАНА                 59

ферепцируемую функцию действительного переменного. В § 12 будет доказано, что функция комплексного переменного, диффе­ренцируемая в области, обладает производными всех порядков в этой области.

В § 4 было отмечено, что непрерывность функции комплекс­ного переменного f(z}==u(x, y)+iv(x, у} в точке z==x+iy рав­носильна непрерывности функций ц и и в точке (х, у}. Анало­гичное утверждение не имеет места для дифференцируемое™. Именно, требование дифференцируемости функции / (z) = и + iu налагает дополнительные условия на частные производные функ­ций и п v.

2. Условия Коши — Римана.

Теорема 1. Для того чтобы функция f(z)==u(x, y}+ +iv{x, у) была дифференцируема в точке z=x+iy, необходи­мо и достаточно, чтобы

1) функции и{х, у} и v(x, у) были дифференцируемы, в точ­ке (х, у);

2) б точке (х, у) выполнялись условия Коши — Римана

ди _ ду    ди _    ду                     ,q^ Тх' ~ ~ду~* ~ду' ~ ~~ ~д^'                   ^\ '

Для производной f (z) справедлива формула

/•(^-n-l—S—^-     w

Доказательство. Необходимость. Пусть функция jf(z) дифференцируема в точке г. Тогда в силу (3) имеем

A/-f(z)Az+e(p),                (10)

где в (р') == о (р)  при р ->- 0. Здесь обозначено р=1Ай|= ==^ (&x)'ⁱ+(^y)². Функция е(р) комплекснозначная, представим ее в виде е(р)= gi(p)+ie2(p), где функции ei(p), Ба(р) прини­мают действительные значения. Так как ——->-0 при р-^-0, то

ei(P)   „ е (р) —-—-»-0, —-——->~0 при р-»-0, и поэтому

е.(р)=о(р), е,(р)=о(р)  (р-0).          (11)

Обозначим А/=Дц+гЛр, f(z)==A+iB и подставим в (10), тогда получим

Au+iAy=(4+i5)(Aa:+iA!/)+ei+iez.       (12)

Приравнивая в этом соотношении действительные и мнимые ча­сти, получаем

Ак=4Ла:-5Ду+е1, Лу =ВАж+4Аг/+бг.     (13)

60                      ГЛ. II, РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ

Тем самым доказано, что функции и, v дифференцируемы в точ­ке (х, у).

Из равенств (13) находим

л    ^ди       г,    ди    г.    ди     ,    qv ^A^^  -^в=^  ^д=^'   ^A=~дy^

откуда следуют условия Коши—Римана и формула (9), так как f(z}=A+iB.

Достаточность. Пусть функции и (х, у) и и(х, у} диф­ференцируемы в точке (х, у) и пусть выполняются условия (8). Тогда имеют место равенства (13), где ei=o(p), ег=о(р). Ум­ножая второе из этих равенств на i и складывая с первым, получаем

Аы + i ау =- ААх - ВАу + i {B^x + ААу) + ei + №2, или

А/ = (А + 1В) (Аж + i Ау) + е, + is„ или

A/=(4+i5)Az+e(p),

где е(р)=о(р), откуда в силу (3) вытекает дифференцируемость функции /(z) в точке z. Теорема доказана.

Пример 3. а) Функция е¹ = к" cos у + ie* sin у дифференци­руема во всей комплексной плоскости, так как

I-»——»-У y=-.-sin,=-^. По формуле (9) находим

(<")' = -^- + i -^- = е" cos г/ + ге" sin у = е², т. е.

W=e\                       (14)

б) Функции sinz, cosz, shz, chz дифференцируемы во всей комплексной плоскости, и их производные вычисляются по фор­мулам

(sin z)'= cosz, (cos z)'=— sinz,           (15) (shz)'=chz,   (chz^shz.              (16)

в) Рассмотрим функцию z² = ж² — г/² — i2xy. Имеем ^д— = 2х,

— = — 2у, -^ = — 2у, — = — 2х. Условия (8) выполняются

только при х == у = 0, следовательно, функция z² дифференци­руема только в точке z = 0. Q

Пусть z=reⁱ^^s', тогда /(z)=n(r, (p)+iu(r, (p)', и условия Ко-ши — Римана в полярных координатах имеют вид

-^"-=-¹-^.   -^—__¹-^"-               П7\ дг    г 9ff>'   дг ~   г Дф '              ^{\ /}

§ 7, УСЛОВИЯ КОШИ—РИМАНА                 61

Следовательно,

...    г 1 ди , . ди\   1 ( ди    . ди}          ,,о\ J^f(^z)"^^+^l^^"^1^-^l1^•         ⁽¹⁸⁾

Пример 4. Пусть D — плоскость z с разрезом вдоль поло­жительной действительной полуоси.

а) Функция yl^TW»⁷², щв z^^re¹", 0<ф<2я, удовлетво­ряет условиям (17) и поэтому У z — дифференцируемая в обла­сти D функция. По формулам (18) находим (У z) =   ,- ^,

W^-                т

• б) Функция 1пг=1пг+кр (z==re"", 0<(р<2л) удовлетво­ряет условиям (17) и