Регулярные функции. Дифференцируемые функции. Условия Коши — Римана. Геометрический смысл производной, страница 6

(lnz)'==4-. П                      (20)

3. Сопряженные гармонические функции. Пусть функция f(z)=u+iv дифференцируема в области D и, кроме того, функ­ции и и у имеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Тогда, дифференцируя первое из ра­венств (8) по х, а второе — по у, получаем

д^и _ д\     д^и _^     д\ Зд2 - дхду^   ду²-       ^дУ^дx'

Складывая эти равенства и учитывая, что производные

(а     д^и ——— и       в силу их непрерывности равны, находим

^-+^==0.                    (21)

дх-   ду Аналогично получаем

д^у     д^у _г. дх^{2 +} ду² ~

Действительная функция и (х, у), имеющая в области D не­прерывные частные производные второго порядка и удовлетво­ряющая уравнению (21), называется гармонической в области D, а уравнение (21)—уравнением Лапласа.

Выше было указано, что дифференцируемая в области D функция имеет производные любого порядка в этой области и, следовательно, обладает непрерывными частными производны­ми любого порядка. Поэтому действительная и мнимая части

62                     ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ

функции f(z)=u+iv, дифференцируемой в областиD, являются гармоническими функциями в этой области.

Гармонические функции и(х, у) и v(x, у), связанные между собой условиями Коши — Римана, называются сопряженными. Таким образом, действительная и мнимая части дифференцируе­мой в области функции являются в этой области сопряженными гармоническими функциями.

Обратно, если в области D даны две сопряженные гармони­ческие функции и(х, у) и v (х, у), то, по теореме 1, функция f(z)==u+iv дифференцируема в области D. Следовательно, справедлива

Теорема 2. Для диффервнцируемости функции f (z) = и + + iv в области D необходимо и достаточно, чтобы функции и(х, у) и v(x, у) были сопряженными гармоническими в этой области.

Зная одну из функций и(х, у}, v{x, у), можно в односвязной области найти другую функцию.

Теорема 3. Для всякой функции и{х, у), гармонической в односвязной области D, можно найти сопряженную с ней гармо­ническую функцию, которая определяется с точностью до про­извольного постоянного слагаемого.

Доказательство. Так как и(х, у)—гармоническая в од­носвязной области D функция, то

д !   ди \ _ д ! ди\ ~ду~[~~ду')~~дх'[дх J'

ди , , ди 1 и следовательно, выражение—-д— их +-»—ау является полным

дифференциалом некоторой однозначной функции v(x, у), опре­деляемой с точностью до произвольного постоянного слагаемого С формулой (§ 6, п. 2)

(ж,у)

v(x,y)= J -^-dx+^rdy+C.          (22) . (Vo)

Здесь (ху, г/о)е0 и (ж, y}^D (интеграл не зависит от кривой, соединяющей точки (а-о, г/о) и (х, у), а зависит лишь от точки (ж, у), если точка (а:о, г/о) фиксирована). Из (22) имеем

ди        ди    9v _ ди ~д^ ~    ~ду''  ~ду ~ "a^'¹

откуда следует, что и(х, у}—гармоническая в области D функ­ция, сопряженная с и (х, у).

Из теорем 2 и 3 следует, что если задана гармоническая функция и(х, у} в односвязной области D, то можно найти, с точностью до постоянного слагаемого, дифференцируемую в

§ 7. УСЛОВИЯ КОШИ—РИМАНА                      63

области D функцию f(z)=u+iv, т. е. восстановить дифферен­цируемую функцию по заданной ее действительной (или мни­мой) части. Если область D многосвязна, то функция v, опреде­ляемая интегралом (22), а также функция f(z)==u+iu могут оказаться неоднозначными.

Отметим, что при нахождении функции v (х, у) по заданной. функции и(х, у} (или наоборот) часто бывает более удобным вместо формулы (22) непосредственно использовать условия Ко­ши -^ Римана (см. пример 5).

Пример 5. Найдем дифференцируемую функцию /(z), если

Re/(z)=u(a", y}=y^s-3x^гy.

Функция и = у³ — За;³;/ является гармонической во всей комп­лексной плоскости. Имеем

ди    ди      „

-ду-^^-г^-⁶^'

откуда

v=-3xy^+g(x).                 (23) Из (23) находим

^=-3y^+g'(x).                   (24) С другой стороны, в силу (8) получаем

-ё--!—-³^³"²-      (²⁵)