Регулярные функции. Дифференцируемые функции. Условия Коши — Римана. Геометрический смысл производной, страница 2

Au+iAy=(4+i5)(Aa:+iA!/)+ei+iez.       (12)

Приравнивая в этом соотношении действительные и мнимые ча­сти, получаем

Ак=4Ла:-5Ду+е1, Лу =ВАж+4Аг/+бг.     (13)

60                      ГЛ. II, РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ

Тем самым доказано, что функции и, v дифференцируемы в точ­ке (х, у).

Из равенств (13) находим

л    ^ди       г,    ди    г.    ди     ,    qv ^A^^  -^в=^  ^д=^'   ^A=~дy^

откуда следуют условия Коши—Римана и формула (9), так как f(z}=A+iB.

Достаточность. Пусть функции и (х, у) и и(х, у} диф­ференцируемы в точке (х, у) и пусть выполняются условия (8). Тогда имеют место равенства (13), где ei=o(p), ег=о(р). Ум­ножая второе из этих равенств на i и складывая с первым, получаем

Аы + i ау =- ААх - ВАу + i {B^x + ААу) + ei + №2, или

А/ = (А + 1В) (Аж + i Ау) + е, + is„ или

A/=(4+i5)Az+e(p),

где е(р)=о(р), откуда в силу (3) вытекает дифференцируемость функции /(z) в точке z. Теорема доказана.

Пример 3. а) Функция е¹ = к" cos у + ie* sin у дифференци­руема во всей комплексной плоскости, так как

I-»——»-У y=-.-sin,=-^. По формуле (9) находим

(<")' = -^- + i -^- = е" cos г/ + ге" sin у = е², т. е.

W=e\                       (14)

б) Функции sinz, cosz, shz, chz дифференцируемы во всей комплексной плоскости, и их производные вычисляются по фор­мулам

(sin z)'= cosz, (cos z)'=— sinz,           (15) (shz)'=chz,   (chz^shz.              (16)

в) Рассмотрим функцию z² = ж² — г/² — i2xy. Имеем ^д— = 2х,

— = — 2у, -^ = — 2у, — = — 2х. Условия (8) выполняются

только при х == у = 0, следовательно, функция z² дифференци­руема только в точке z = 0. Q

Пусть z=reⁱ^^s', тогда /(z)=n(r, (p)+iu(r, (p)', и условия Ко-ши — Римана в полярных координатах имеют вид

-^"-=-¹-^.   -^—__¹-^"-               П7\ дг    г 9ff>'   дг ~   г Дф '              ^{\ /}

§ 7, УСЛОВИЯ КОШИ—РИМАНА                 61

Следовательно,

...    г 1 ди , . ди\   1 ( ди    . ди}          ,,о\ J^f(^z)"^^+^l^^"^1^-^l1^•         ⁽¹⁸⁾

Пример 4. Пусть D — плоскость z с разрезом вдоль поло­жительной действительной полуоси.

а) Функция yl^TW»⁷², щв z^^re¹", 0<ф<2я, удовлетво­ряет условиям (17) и поэтому У z — дифференцируемая в обла­сти D функция. По формулам (18) находим (У z) =   ,- ^,

W^-                т

• б) Функция 1пг=1пг+кр (z==re"", 0<(р<2л) удовлетво­ряет условиям (17) и

(lnz)'==4-. П                      (20)

3. Сопряженные гармонические функции. Пусть функция f(z)=u+iv дифференцируема в области D и, кроме того, функ­ции и и у имеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Тогда, дифференцируя первое из ра­венств (8) по х, а второе — по у, получаем

д^и _ д\     д^и _^     д\ Зд2 - дхду^   ду²-       ^дУ^дx'

Складывая эти равенства и учитывая, что производные

(а     д^и ——— и       в силу их непрерывности равны, находим

^-+^==0.                    (21)

дх-   ду Аналогично получаем

д^у     д^у _г. дх^{2 +} ду² ~

Действительная функция и (х, у), имеющая в области D не­прерывные частные производные второго порядка и удовлетво­ряющая уравнению (21), называется гармонической в области D, а уравнение (21)—уравнением Лапласа.

Выше было указано, что дифференцируемая в области D функция имеет производные любого порядка в этой области и, следовательно, обладает непрерывными частными производны­ми любого порядка. Поэтому действительная и мнимая части

62                     ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ

функции f(z)=u+iv, дифференцируемой в областиD, являются гармоническими функциями в этой области.

Гармонические функции и(х, у) и v(x, у), связанные между собой условиями Коши — Римана, называются сопряженными. Таким образом, действительная и мнимая части дифференцируе­мой в области функции являются в этой области сопряженными гармоническими функциями.

Обратно, если в области D даны две сопряженные гармони­ческие функции и(х, у) и v (х, у), то, по теореме 1, функция f(z)==u+iv дифференцируема в области D. Следовательно, справедлива