Регулярные функции. Дифференцируемые функции. Условия Коши — Римана. Геометрический смысл производной, страница 4

(ряд сходится в круге |zl < 1). []

Определение 2. Пусть функция /(z) определена в окре­стности бесконечно удаленной точки и разлагается в ряд

00

/00=2^'                     (28)

П=0  ²

сходящийся в некоторой окрестности точки z == оо (т. е. в области Izl >R). Тогда функция /(z) называется регулярной в бесконеч­но удаленной точке.

Замечание 2. Из определения 2 следует, что функция /(г) регулярна в точке z = оо в том и только в том случае, когда функция g(^,)=f(Vt>) регулярна в точке S = 0.

Глава II РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ

§ 7. Дифференцируемые функции. Условия Коши — Римана

1. Производная. Пусть функция /(z) определена в некоторой окрестности точки Zo. Если существует конечный предел отно­шения ^ (^ + ^лг) ~⁷ ("о) при Az -> 0, то этот предел называется

^дг производной функции /(г) в точке Zo и обозначается /'(го),

а функция /(z) называется дифференцируемой в точке Zo. Таким образом,

Л^и^^-^).           (1)

Л2-»0           "

Функция /(z) называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Пусть A^=/(zo+Az)—/(zo). Тогда соотношение (1) примет вид

lim^-=f(z„).                       (2)

Лг-»0

Это означает, что для любого е>0 существует б=б(е)>0 та­кое, что неравенство

^--п^оХв

имеет место, если 0 < ]Azl < б. Из (2) следует, что A/=f(Zo)Az+o(Az)   (Az-^0).

Обратно, если приращение Л/ функции /(z) представляется в виде

A/=AAz+o(Az),                   (3)

где Л — комплексная постоянная, не зависящая от Az, то функ­ция /(z) дифференцируема в точке Zo и A ==/'(Zo).

Таким образом, равенство (3) является необходимым и до­статочным условием дифференцируемости функции /(z) в точке

58                       ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ

Zo. Из (3), в частности, следует, что функция, дифференцируемая в точке Zo, непрерывна в этой точке.

Пример 1. Функция /(z)=z" (га >1—целое) дифферен­цируема во всей комплексной плоскости, так как

т    (z+Az)"—z"    т    пг"-¹^ + о (Дг)       .. ,       ,„

lim -^:————— = Inn ——————-—- = nz"-¹.     (4)

Дг^о       ^uz           Дг-»о        ^/\z

Следовательно,

(z")'=raz"-¹. Q                        (5)

Из определения производной и свойств пределов вытекает, что на функции комплексного переменного распространяются известные из курса математического анализа правила дифферен­цирования.

1. Если функции /(г) и g{z) дифференцируемы в точке z, то их сумма, разность, произведение и частное (при g{z)¥=0) так­же дифференцируемы в этой точке и имеют место равенства

(/ ± g)' = f ± g'; (cf)' = cf   (с = const),

W-fg+fg', [-}-^LjLzle-         (б):

V          /                             6

2. Если функция /(z) дифференцируема в точке z, а функ­ция F(w) дифференцируема в точке w=f(z), то функция Ф(г)=Р[/(г)] дифференцируема в точке z, причем

Ф^r(z)=F'(w)f'(z}.                   (7)

Пример 2. Из формул (5) и (6) следует, что

а) функция /(z)==z"¹, где т < 0—целое, дифференцируема во всей комплексной плоскости, кроме точки z = 0, и (z"¹)' = ==ffiz"'-¹; в частности,

(1 \'     1

с-»'—)--у

б) многочлен   Рд (г) = aoZ" + ffliZ""¹+.. .+a„-iZ+a„—диффе­ренцируемая во всей комплексной плоскости функция и

Рп (z) == па^-¹ + (п — 1) а^-^ + . .. + 2д,г-гг 4- a„-i;

,                   .           р, ,    Рп (^г)

в) рациональная функция Л (z) = „——— имеет производную

*'т ^   )

во всех точках, где (^(z^O, причем формула для Д'(г) имеет тот же вид, что и соответствующая формула для действитель­ных х. U

В определении производной содержится требование, чтобы предел (1) не зависел от способа стремления Az к нулю. Это накладывает на дифференцируемую функцию комплексного пе­ременного значительно более сильные ограничения, чем на диф-