Математика \ Теория функций комплексного переменного

Регулярные функции. Дифференцируемые функции. Условия Коши — Римана. Геометрический смысл производной, страница 12

|o(z-z„)l<slz—zo[.                 (10)

Выберем п столь большим, чтобы треугольник An лежал в круге Iz—Zol < б. Тогда из (9) и (10) имеем

./„= J/(z)dz <e J|z-zJ|dz|<ePnj'|dz|=8P„=8^,

Дп           Дп                  Дп

т. е.

^п<е^                       (11)

Сравнивая (7) и (11), получаем а/4" < sP2/^", т. е. а<еР2, что при а > 0 невозможно, так как е > 0 можно выбрать сколь угодно малым. Следовательно, а == 0, т. е. равенство (3) спра­ведливо для любого треугольника, лежащего в области D.

2. Пусть теперь в качестве f взят контур произвольного замк­нутого многоугольника, лежащего в области D.


(О                         i". 11. ГДХУЛНРИЫй ФУНКЦИИ

Если многоугольник является выпуклым, то его можно раз­бить на треугольники диагоналями, проведенными из одной вер­шины. Представляя J= \f(z)dz в виде суммы интегралов, взя-

V

тых по границам треугольников, на которые разбивается данный ;

многоугольник, получаем J =0.                                1 Далее, любой многоугольник можно разбить на конечное i. число выпуклых многоугольников. Следовательно, и в этом слу- 1

чае J/(z)dz=0.                                            1

3. Пусть, наконец, ^ — произвольная замкнутая кривая, ле-

С жащая в области D. По лемме 2, § 5 / (z) dz можно с любой

т точностью приблизить интегралом по замкнутой ломаной, лежащей в области D, т. е. для любого е > 0 существует замк­нутая ломаная L такая, что

[J/(z)dz- \f(z)dz <e.

it                     L

По доказанному выше | / (z) dz = 0 и поэтому последнее нера-l

I Г венство принимает вид \\f(z)dz <; 8, откуда в силу произволь-

Iv

поста числа 8 > 0 заключаем, что J / (z) dz = 0.

v

3. Следствия, дополнения и замечания к теореме Коши.  >

^ Замечание 1. Функция /(z)=— дифференцируема в

Z

кольце 0< Izl < 2, но \ -^-^=0 (§5, пример 3). Этот пример

z|=l

показывает, что требование односвязности области в теореме Коши существенно.

Следствие 1. Если функция f(z) дифференцируема в од­носвязной области D, то интеграл от /(z) не зависит от пути ин­тегрирования. Именно, если кривые f, fi лежат в области D и имеют общие начало и конец, то

J/(z)dz= J/(z)rfz. v         ti

Таким образом, кривую у можно деформировать в области D (оставляя концы неподвижными), не меняя значения интеграла.

Используя следствие, приведенное в § 6. п. 2, получаем тео­рему 3, которая также называется интегральной теоремой Коши.


§ 9. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ                79

Теорема 3. Если функция /(z) дифференцируема в обла­сти D, а кривые fi и ^г гомотопны в области D, то

J/(z)riz= J/(z)dz.

Vl           V,

Область D может быть и неодносвязной.

Теорема Коши остается в силе и для случая, когда кривая ^ является границей области D. Приведем формулировку теоремы Коши для этого случая.

Теорема 4. Пусть D—ограниченная односвязная область с кусочно гладкой границей Г и пусть функция f(z) дифферен­цируема в области D и непрерывна вплоть до ее границы. Тогда

f/(z)dz=0. г

Доказательство теоремы 4 вытекает из теоремы 2 и лем­мы 3, § 5.

Утверждение теоремы 4 остается в силе и для многосвязных областей.

Следствие 2. Пусть граница Г многосвязной области D состоит из замкнутой кусочно гладкой кривой Го и попарно не пересекающихся замкнутых кусочно гладких кривых Гц Г2, ... ..., Гп, расположенных внутри Го, и пусть функция f(z) диф­ференцируема в области D и непрерывна вплоть до ее границы. Тогда

f/(z)dz+ S }f(z)dz==0.              (12)

Го           ^Fft

Кривые Гц,Fi, ..., Гц ориентированы так, что при обходе каждой из этих кривых область D остается слева.

Доказательство. Соединим кривую Го с кривыми Fi, Га, ..., Гп разрезами Yi, ^2, • •., Тп (рис. 43) так, чтобы получив­шаяся область D была односвязной. Граница Г области D состоит из кривых Го,Fi, ..., Г„ и разрезов 'fi, ^2, ..., "fn. По

Скачать файл