теореме 4 ) f(z)dz == 0. Учитывая, что интегрирование по каж-
г дому разрезу ^ (& = 1, 2, ..., re) совершается два раза (в про-
тивоположных направлениях) и, следовательно, / (г) dz = О,
п получаем формулу (12).
Отметим частный случай следствия 2. Пусть функция /(z) дифференцируема в области D (не обязательно односвязной) и пусть 'y и 'fi — простые замкнутые кривые (одна из них лежит внутри другой), образующие границу области Di <= D (рис. 44).
80 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ *************************************
Тогда
J/(z)dz= J/(z)rfz. (13)
V Vl
В формуле (13) обход кривых •у и у, совершается в одном и том же направлении. Из равенства (13) следует, что если замкнутый контур •y произвольно деформируется в области, где функция
|
|
Рис. 43 Рис. 44
/(z) дифференцируема, то величина интеграла / (z) dz при этом
не меняется. /
4. ИнтегрЗаГИ первообразная. Пусть функция /(z) определена в области D, а функция F(z} дифференцируема в этой области. Если F'(z)=f(z) для всех z e= D, то функция F(z) называется первообразной функции /(z) в области D.
Теорема 5. Если функция f{z) дифференцируема в односвязной области D, то она имеет в этой области первообразную.
Доказательство. Рассмотрим функцию
г
F(z)=J/(y^, (14) z»
где интеграл берется по любой кривой, лежащей в области D. Так как интеграл (14) не зависит от пути интегрирования (следствие 1), то функция F{z) однозначна в области D. Покажем, что 7''(z) есть первообразная функции /(z), т. е.
/ г у
F'(z)= ('/©и; =/(z).
Ч /
§ 9. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ 81
Пусть z + Az — точка области D, лежащая в достаточно малой окрестности точки z е D. Рассмотрим отношение
г+Дг г \ г+Лг
^й^=д4 J /(^-jnM =^ J ^-
['О ^ j 2
(15)
F (z + Лг) — F (г) , / >, Покажем, что разность о = —-——^———— — / (г) стремится
к нулю при Дг ->- 0.
2+Д2
Так как ( dt, = Лг (§ 5, пример 1), то
3
z+Дг
^ J /(z)^=/(z). (16)
г
Используя независимость интегралов (15) и (16) от пути интегрирования, возьмем в качестве пути интегрирования отрезок, соединяющий точки z и z + Аг. Тогда
г+Дг
a=-^i±-^^-/(z)^ J [/Щ-/(г)]^,
z
откуда
z+Дг
H<|4li J l/(S)-/(z)IK]. (17)
z
В силу непрерывности функции /(z) в точке z для любого е>0 найдется 6=б(е)>0 такое, что при |z—S^o имеет место неравенство
|/a)-/(z)l<e. (18)
Так как в (17) £; принадлежит отрезку [z, z+Az], то |z—Sl ^ sS lAzl и, следовательно, неравенство (18) справедливо, если
1Лг1<б.Из (17) и (18) получаем |о| < —уе| Лг|, т.е. Ы<е, если 1Лг1<6. Следовательно, существует
lim^+^-^^z).
Лг^О д2
т. е. F'(z)=f(z). Теорема доказана.
Из доказательства теоремы 5 вытекает
Следствие 3. Пусть функция f(z) непрерывна в области D, и интеграл от этой функции по любой замкнутой кривой, ле-
6 ТП "R Гтттплпо т» ттп
88 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
Рассмотрим ряд
S ncnz"-1, (5)
та=1
составленный из производных членов ряда (2). Так как lim •}'' п = 1, то из (4) вытекает
Следствие 2. Радиус сходимости ряда (5) равен радиусу сходимости ряда (2).
2. Почленное дифференцирование степенного ряда.
Теорема 2. Пусть радиус сходимости степенного ряда
00
/ (Z) == S CnZ" (6) n=o
JoaeeH R (R¥=Q). Тогда этот ряд можно почленно дифференцировать в круге \z\ <R любое число раз. Получаемые при дифференцировании ряды имеют тот же радиус сходимости, что и ряд (6).
Доказательство. Рассмотрим ряд
00
S (z) = 2 ncnz1--1, (7) n=l
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
