Регулярные функции. Дифференцируемые функции. Условия Коши — Римана. Геометрический смысл производной, страница 17

П==0

где коэффициенты Сд определяются формулами

сп=-^^(а)                      (11) или

^сп=^ J (7^5^' ^Р1<р-     ⁽¹²⁾

IS-nI=Pi '•'    '

Этот степенной ряд является рядом Тейлора функции /(z) в окрестности точки z == а.

§ 12. СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ                95

Непосредственным вычислением производных от элементар­ных функций е\ sinz, cosz, shz, chz в точке z=0 (§ 7, фор­мулы (14), (15), (16)) получаются следующие сходящиеся во всей комплексной плоскости разложения:

00

^—в  п

<-⁼ 2 ^г.                       (i³)

п=о

Vt-l)"^'⁴-¹          V(-¹)"²²"        /</'>

^sl1az:=!  (2n+l)\ •   ^^=1——^-'          (¹⁴) n=o '    '  '               n=o   ^\ '

oo                                       oo

V'  г²"⁴'¹                'V г²"

^shz==2(2«-пл'   ^^^зд-       (¹⁵)

П=0 '       '    '                               71=0

Напомним также ряд

г~ 2 ^                        (¹⁶)

п=о

сходящийся в круге |z| < 1.

Заметим, далее, что для нахождения коэффициентов ряда (10) формулы (12) обычно не используются. Часто коэффици­енты ряда Тейлора находят, используя известные разложения (в частности, формулы (13)—(16)) и применяя различные ис­кусственные приемы.

Пример 1. Ряд

oo

^-^l^=2(^/г+^l)^z" (^к¹)

получается дифференцированием ряда (16). Q

Пример 2. Для нахождения ряда Тейлора в окрестности. точки z = 0 рациональной функции

^"(l-.²)^) представим ее в виде

л   ^               1     /        1             ,             1         ^\»                ¹      Г       1              ,                      ¹                 1

^H-^-q-J^ г^тг^'

L        \,   4 /J откуда в силу формулы (16) получим ряд

^-i-i-h+^b

n=o    L      •'    J

сходящийся в круге |zl < 1. Q

120                    ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ

функция f{^)=(t²+l)-^(^„—z)-^l регулярна в кольце fzl < < |Е;| < оо, если Izl > 1, так как функция l/^+l) регу­лярна при всех t, ^ ±t.

Следовательно, в силу интегральной теоремы Коши инте­гралы по окружностям 1^1=2 и l£l=J? от функции /(^) рав­ны при Izl < 2, что и доказывает (23). []

Этот пример допускает следующее обобщение. Рассмотрим интеграл F(z) типа Коши (20), где ^ — простая замкнутая кри­вая. Тогда этот интеграл определяет функцию, регулярную в об­ласти D», лежащей внутри ^.

Пусть функция /(S) регулярна в замкнутой области D, огра­ниченной кривыми •y' и ^, где ^' — простая замкнутая кривая, и

•у лежит внутри ^^/. Тогда формула

v  м     ¹  Г fW ^

^' (^z) = 2й J т—т ^

ч'

дает аналитическое продолжение функции F(z} в область D', лежащую внутри 'у''. Действительно, функция /(S)/(£—z) регу­лярна в области D, если z <= Do, так что в силу интегральной теоремы Коши

ate^JT^ (-ад.

II'                            у

Интеграл в левой части этой формулы задает функцию, регу­лярную в D', а интеграл в правой части равен F(z). Следова­тельно, Fy, (z) = F (z) [z^D»}, и наше утверждение доказано. Аналогичный метод применим к интегралам вида (21). Теорема 7. Пусть функция /(£;) регулярна в полосе

— a^Im^^O и удовлетворяет условию

l/a)ls£C(l+l£l)-°,a>0, -a^Im£^0.

Тогда интеграл (21) допускает аналитическое продолжение в полуплоскость Imz>—а и это продолжение Fa{z} дается фор­мулой

—га+оо

^F^=wi J т^^' ^^-^   <²⁴)

—ia—oo

Итак мы рассмотрели здесь следующие приемы аналитиче­ского продолжения функций, заданных интегралами:

1) интегрирование по частям;

2) поворот контура интегрирования;

3) перенос контура интегрирования. Ряд других примеров аналитического продолжения будет рас­смотрен в §§ 21, 23.

Пример 7. Функция /(z)=z/(z—l) регулярна в точке г=оо, так как функция §•(£;) ==/(1/S)= 1/(1 ~ S) регулярна в точке £;