Гармонические колебания. Характеристики и формы представления. Сложение однонаправленных колебаний. Векторные диаграммы. Гармонические осцилляторы. Уравнение состояния идеального газа, страница 2

Пример 1.

продифференцируем по x и получим .

Причины, по которым получается именно это уравнение:

1) система консервативна.

2) Энергия – квадратичная форма от смещения и скорости.

Для колебательного контура:

5.Осциллятор с трением. Дифференциальное уравнение осциллятора с рением. Режимы движения осциллятора с трением.

В реальных осцилляторах есть трение, трение трансформирует энергию колебаний во внутреннюю энергию. При достаточно большом трении колебаний может и не быть.

Дифференциальное уравнение осциллятора с трением

1. Колебательный контур

; ;

2. Пружинный маятник

Fizika1 Пружинный маятник движется в некоторой среде, тогда на маятник будет действовать сила сопротивления, модуль которой .

; ;

В общем случае дифференциальное уравнение осциллятора с трением:

(1) , где - квадрат собственной частоты, - коэффициент затухания.

дифференциальное уравнение осциллятора с трением описывает собственную динамику осциллятора, у которого трение линейно зависит от скорости.

Режимы осциллятора с трением

Характер движения осциллятора с трением. Если трение очень маленькое, то колебания должны быть, но их амплитуда должна падать. Если трение велико, то колебаний может не быть.

Решение (1) будем искать в виде x=Ae^g^t.

Ae^g^t (g²+2bg+)=0

g²+2bg+=0

g_1,2=

Возможны три ситуации, связанные с коэффициентами и , и они соответствуют трем возможным режимам осциллятора с трением:

1. Апериодический режим >

g₁<0, g₁<0

x(t)= A₁e^g^1t+ A₂e^g^2t= A₁e⁽^)*t+ A₂e⁽^)*t

Апериодический режим возникает при большом трении в системе.

2. Режим критического затухания.

g₁=g₂=-b

x(t)=(A+Bt)e^-^b^t

Вид картины такой же.

В режиме критического затухания система наиболее быстро возвращается в положение равновесия среди апериодических режимов.

Коэффициент сопротивления r называется критическим коэффициентом затухания, b – коэффициент критического затухания, R- критическое сопротивление контура.

Найдем выражение для критического сопротивления:

b_кр= ; ;

3. Режим затухающих колебаний.

b< ; g_1,2=, где

x(t)=Re((t))= A₁e^-^b^tcos(wt+j₀₁)+ A₂e^-^b^tcos(wt+j₀₂)= A₀e^-^b^tcos(wt+j₀)

A₀ – зависит от энергии.

j₀ – зависит от начального состояния системы.

Затухающие колебания и их характеристики

x(t)= A₀e^-^b^tcos(wt+j₀)

Положим j₀=0.

Колебания не периодичны (т.к. max не повторяются), но они характеризуются периодом затухающих колебаний.

T=, - зависит не только от возвращающего воздействия, но и от трения.

- постоянная времени затухания(времени релаксации) – за это время амплитуда уменьшается ровно в e раз. ; A=A₀e^-1; =1; b=

d - логарифмический декремент затухания.

d=, d=

d обратно числу колебаний, в течении которых амплитуда уменьшается в e раз.

6.Затухающие колебания осциллятора и их характеристики. Энергия затухающих колебаний. Добротность осциллятора.

Если на материальную точку массой , кроме упругой силы , действует еще мила трения , где - коэффициент трения и - скорость колеблющейся точки, то колебания точки будут затухающими. Уравнение затухающего колебательного движения имеет вид , где - коэффициент затухания. При этом и , где - круговая частота собственных колебаний. Величина называется логарифмическим декрементом затухания.