Гармонические колебания. Характеристики и формы представления. Сложение однонаправленных колебаний. Векторные диаграммы. Гармонические осцилляторы. Уравнение состояния идеального газа, страница 15

,  .

Мы получили, что коэффициент , определяющий амплитуду отраженной волны, отличен от нуля. Это означает, что при  имеется конечная вероятность отражения частиц от барьера. Это чисто квантово-механический эффект, связанный с проявлением волновых свойств частиц.

Определим для потенциальной ступеньки коэффициенты отражения R и прохождения Т. Пусть на ступеньку из первой области падает пучок частиц. Скорость частиц в первой области  связана с их импульсом: . Частицы, прошедшие во вторую область, будут иметь скорость . Итак, имеется 3 потока: падающих частиц интенсивностью , отраженных частиц интенсивностью  и прошедших  интенсивностью

Коэффициент отражения определим как отношение интенсивностей отраженного и падающего потоков: .

Коэффициент прохождения – как отношения интенсивностей прошедшего и падающего потоков:

Складывая выражения для R и Т, получаем  . Данное равенство означает, что частица либо отражается от ступеньки, либо проходит во вторую часть. Если рассматривать не поток, а отдельно взятые частицы, то R – средняя вероятность отражения частиц от потенциальной ступеньки, а Т – средняя вероятность прохождения. Если частицы с  движутся к ступеньке не ->,  а <-, то также имеет место отражение. Причем R остается прежним, если  и  не менять. Для квантовых частиц любое резкое изменение  всегда приводит к определенному отражению от этой области.

Туннельный эффект.

Проанализируем теперь движение квантовой частицы. Пусть , тогда  1 – область слева от барьера, 2 - область барьера, 3 - область справа от барьера. Волновые функции частицы в этих областях обозначим соответственно. Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области:

Первая область   

Вторая область  

Третья область  

Решения этих уравнений имеют вид (очевидно  и)

 

 

 

Так как в первой области решение содержит отраженную волну, то это означает, что частица имеет конечную вероятность отражения от барьера (у классической частицы вероятность равна 1). Так как в третьей области есть прошедшая волна, то у частицы есть вероятность прохождения за барьер (с классической точки зрения в принципе не может быть). Такая способность квантовых частиц проникать сквозь потенциальный барьер при  получила название туннельный эффект.

Коэффициенты  связаны между собой Эта связь может быть определена из условий  непрерывности  и  на границах барьера: , ,

Для описания туннельного эффекта используются не сами коэффициенты, а их отношения. Вероятность отражения частицы от потенциального барьера – коэффициент отражения R и вероятность прохождения частицы сквозь барьер – коэффициент  прозрачности барьера D.

,

31. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме. Квантование состояний.

Потенциальная яма , где  - ширина ямы, а энергия отсчитывается от ее дна. Никакая частица не может выйти из этой ямы. Если частица классическая, то, в зависимости от скорости, если

1) , то положим равной 0; 2): частица движется между стенками, и график плотности распределения вероятности будет выглядеть в виде прямой (см. рисунок).

Для реальной частицы: запишем уравнение Шредингера: .

За пределы ямы частица не проникает, поэтому волновая функция вне ямы равна 0, следовательно, на границах ямы . Решение ищем в виде . . . По второму граничному условию: . , где n - квантовое число.

, т. к. вероятность обнаружения частицы внутри ямы равна 1, следовательно . Решения найдены в виде стоячих волн.

Рассмотрим Е: , где , т. е. есть множество значений энергии, которые частица не принимает. Таким образом, энергия дискретна, т. е. квантована. Чем меньше , тем выше ; состояния частицы дискретны. Энергия пробегает ряд значений, не равных 0. Разрешенные энергии частицы называются энергетическими уровнями, они появляются, если частица ограничена в пространстве.

Изобразим волновую функцию на фоне уравнений при .

 - основное состояние (основной энергетический уровень).

У классической частицы этот график выглядит в виде прямой, параллельной оси Ох.