Гармонические колебания. Характеристики и формы представления. Сложение однонаправленных колебаний. Векторные диаграммы. Гармонические осцилляторы. Уравнение состояния идеального газа

1.Гармонические колебания. Характеристики и формы представления.

Гармонические колебания

В общем случае состояние системы изменяется. Если в изменение обнаруживается повторяемость, то в системе происходят колебания. Если колебания повторяются через строго определенный промежуток времени, то такое колебание периодическое, а сам промежуток – это период Т. Колебания, происходящие по закону Sin или Cos называются гармоническими.

Причины гармонических колебаний:

1. Многие колебания во многих системах близки к гармоническим.
2. Любое произвольное колебание можно представить в виде суммы гармонических колебаний.

Уравнение гармонического колебательного движения имеет вид , где  - смещение точки от положения равновесия, разное для разных моментов времени,  - амплитуда,  - период,  - начальная фаза,  - частота колебаний,  - круговая частота. Скорость и ускорение точки, совершающей колебание, определяются соотношениями , . Сила, под действием которой точка массой  совершает гармоническое колебание, , где , т.е. . Здесь  - период колебаний точки, совершающей колебания под действием силы , где - жесткость пружины, численно равная силе, вызывающей смещение, равное единице. Кинетическая и потенциальная энергии колеблющейся точки имеют вид , . Полная энергия . Примером гармонических колебательных движений могут служить малые колебания маятника. Период колебаний математического маятника .

Характеристики и способы представления гармонических колебаний

1. Аналитическое:

2. Графическое:

x – смещение;

A - амплитуда (максимальное значение x);

 - фаза;

 - начальная фаза, при t = 0, зависит от состояния система и времени;

 - скорость изменения фазы с течением времени, циклическая частота;

 

3. Векторное:

Применяется для сложных колебаний. Угловая скорость – циклическая частота.

4. Комплексное:

5. Показательное:

2.Сложение однонаправленных колебаний. Векторные диаграммы. Биения.

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой  и с начальной фазой, определяемой из уравнения , где  и  - амплитуды слагаемых колебаний,  и  - их начальные фазы.

1.  Сложение однонаправленных колебаний с одинаковыми частотами:

Пусть система принимает участие в двух однонаправленных колебаниях с одной .

Сколько бы гармонических колебаний ни складывалось, получаем гармоническое колебание с такой же частотой, но у него своя амплитуда, которая зависит от амплитуды складываемых колебаний и от начальных фаз.

2.  Сложение однонаправленных колебаний с разными частотами. Биения.

Результирующее x – это быстрое колебание с медленно изменяющейся амплитудой.

Если амплитуды разные, то нулевой амплитуды не получится. Если складываются колебания с разными частотами, то получаются не гармонические колебания.

3.Сложение перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

 При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода уравнение траектории результирующего движения имеет вид .

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Разные   

Результирующее движение в общем случае сложное. Траектория может получиться не замкнутой. Замкнутая, если  - кратны друг другу или частоты относятся, как целые числа, , тогда получится фигура Лиссажу.

Пример:

В общем случае фигура Лиссажу пересекает целое число раз каждую ось. Тогда частоты колебаний относятся между собой так, как относятся обратные числа:

4.Гармонические осцилляторы. Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Собственные колебания и энергия осциллятора.

Гармонические осцилляторы.

Среди любых систем можно выделить колебательную систему или осциллятор.

Такая система может совершать колебания сама по себе, те за счет внутренних причин, если у нее есть энергия. Если собственные колебания системы являются гармоническими то система- осциллятор.

Динамика гармонических колебаний описывается дифуром:

  (1)

Если для системы получается уравнение (1) то система – гармонический осциллятор.

- собственная частота.

Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора.

=>  - решение этого уравнения есть функции вида

, .

Пример 1 (Пружинный маятник.)

-  дифференциальное уравнение гармонического осциллятора.

Решением дифференциального уравнения будет.

Величина собственной частоты зависит от свойств системы.

Причин колебаний 2:

1. возвращающая сила.
2. инертность.

3 свойства осциллятора:

1.  Начальное положение.

2.  Возвращающая сила.

3.  Инертность.

Пример 2 (Физический маятник).

Равновесие когда

 

Если угол мал то:

 - собственная частота.

Пример 3 (Колебательный контур)

Сообщение заряда колебательному контуру выводит систему из положения равновесия.

 - закон Кирхгофа.

=> 

Возвращающие воздействие связанно с зарядом.

Энергия гармонического осциллятора.

Рассмотренные в примерах осцилляторы являются консервативными системами. Энергия с течением времени не меняется.