Идентификация статических нелинейных элементов. Преимущества использования ортогональных рядов, страница 9

Очевидно, что для произвольно выбранной системы базисных функций q_k(x) их вес s(х) будет не совпадать с плотностью распределения значений входного воздействия р(х). Необходимо преобразовать исходную систему базисных функций таким образом, чтобы новая система оказалась оптимальной для тестового воздействия с плотностью р(х).

Легко показать, что эта задача решается, если исходные базисные функции домножить на корректирующую функцию с(х) следующего вида:

c (x) = {s(x)/p(x)}^1/2 (2.53).

Новая система ортогональных базисных функций:

q^{^} _k(x) = c(x)× q_k(x). (2.54)

имеет новую весовую функцию, точно совпадающую с заданной плотностью распределения значений входного сигнала.

2.2.7. Нелинейное преобразование системы координат,

приводящее к появлению заданной плотности

Если сигнал х(t) с плотностью распределения значений р(х) пропустить через некоторую нелинейность f(х) = у, то изменится плотность распределения значений ее выходного сигнала р(у). Подбирая соответствующую нелинейность f(х) можно добиться преобразования исходной плотности входного сигнала в заданную плотность распределения значений. Входная и выходная плотности связаны следующим уравнением:

p(y)×½dy(x)/dx½ = p(x). (2.55).

Используя последнее уравнение, можно вычислить значения производных в нужном числе точек и по ним восстановить нелинейную функцию преобразования координат f(х).

Все вышесказанное можно рассматривать как некоторый способ приведения исходной плотности распределения значений входного сигнала к некоторой заданной плотности. Этот способ играет важную роль в теории, так как через него доказывается ряд важных теоретических положений ( смотри далее параграфы 2.4.1., 2.4.2.). Для практики этот способ неприемлем, так как сопряжен со сложными процедурами вычисления прямых и обратных функций нелинейного преобразования координат. Уравнение (2.55) оказывается простым только для частного случая монотонных нелинейных функций f(х). Для немонотонных функций f(х) это выражение существенно усложняется.

2.2.8. Прямой синтез оптимальных ортогональных полиномов

Следует подчеркнуть, что описанная в параграфе 2.2.6. нелинейная процедура преобразования системы базисных функций к оптимальным, как правило, не позволяет получать функции, выражающиеся через конечные степенные полиномы. Попытка преобразовать любую классическую систему базисных функций к оптимальной системе приводит к тому, что новая оптимальная система функций уже не выражается через конечные степенные полиномы. Последнее является следствием использования при синтезе новой системы нелинейного преобразования исходной системы координат.

Если требуется получить базисную систему конечных ортогональных полиномов, оптимальных к заданному входному воздействию, то можно воспользоваться одним из известных методов ортогонализации [12].

Например, система оптимальных ортогональных полиномов с заданной весовой функцией s(x)=р(х) может быть построена следующим образом:

q₀(x)=1=x⁰,

q₁(x)=a_1,0q₀(x)+x¹,

q₂(x)=a_2,0q₀(x)+a_2,1q₁(x)+x²,

q₃(x)=a_3,0q₀(x)+a_3,1q₁(x)+a_3,2q₂(x)+x³, (2.56)

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

qk(x) = xk +

k-1 å ak,i × qi(x), i=0

Фактически при синтезе каждого из полиномов q_k(x) необходимо вычислить вектор из (k-1) коэффициентов a_k,i. Синтез полиномов осуществляется последовательно, начиная с младшего полинома. Коэффициенты, входящие в выражения (2.55), вычисляются по следующей формуле:

(2.57).

Эта формула выводится из определения ортогональности.

Таким образом, воспользовавшись приведенной выше процедурой ортогонализации, мы всегда можем синтезировать систему оптимальных ортогональных полиномов под конкретное тестовое воздействие. К сожалению, прямой синтез оптимальных ортогональных полиномов - это достаточно длинная процедура, занимающая много машинного времени. Основная часть машинного времени уходит на вычисление определенных интегралов. При синтезе первых (n) оптимальных функций приходится вычислять (n-1)! определенных интегралов.

Возможны и другие подходы к синтезу конечных оптимальных ортогональных полиномов [12]. Например, можно воспользоваться известной процедурой ортогонализации Грамма-Шмидта, суть которой сводится к решению нескольких систем линейных уравнений. К сожалению, все существующие процедуры прямого синтеза ортогональных полиномов требуют значительных затрат машинного времени.