-
Дифференциальное уравнение можно приближенно записать в виде разностного уравнения.
-
Рассмотрим вопрос о том, как найти выходной сигнал y(t), зная разностное уравнение и значения входного сигнала x(t), то есть как решить разностное уравнение.
63
6.6. z-преобразование
-
Положит T = 1 и применим к дискретному сигналу f(n) z-преобразование, переводом разностного уравнения в частотную область можно получить его решение.
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/131.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/132.png)
-
В общем случае z – комплексная переменная.
-
Выполним z-преобразование для нескольких примеров.
64
6.6. z-преобразование
-
Пример. Найти z-преобразование сигнала δ1(t).
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/133.png)
-
Пример. Найти z-преобразование дискретной функции Хевисайда :
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/134.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/135.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/136.png)
65
6.6. z-преобразование
-
Если |z| > 1, то Z(1(n)) равно
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/137.png)
-
Если |z| ≤ 1, z-преобразования для 1(n) не существует.
-
Пример. Найти z-преобразование сигнала , а > 0.
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/138.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/139.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/140.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/141.png)
66
6.6. z-преобразование
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/142.png)
-
если знаменатель геометрической прорессии по модулю меньше единицы, то есть, если |z| > e-a .
-
Аналогично получается
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/143.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/144.png)
-
Это преобразование существует, если |z| > a-1 .
67
6.6. z-преобразование
-
Пример. z-преобразование степенных функций nk1(n)
-
Построим рекурсивную формулу z-преобразований, рекурсия проводится по степени k. Если известна форму-ла зависимости преобразования для nk1(n) от n(k-1)1(n), то вычисление формулы для nk1(n) можно выполнить следующим способом.
-
Для k = 0 степенная функция представляет собой просто дискретную функцию Хевисайда, для 1(n) z-преобразо-вание известно, оно вычисляется как сумма геометричес-кой прогрессии.
-
По формуле зависимости находим z-преобразование для k = 1, от него для k = 2, затем для k = 3 и так далее до нужной степени k.
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/145.png)
68
6.6. z-преобразование
-
Пример. z-преобразование степенных функций
-
По определению z-преобразования:
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/146.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/147.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/148.png)
-
Предполагая, что все ряды, участвующие в преобразованиях, сходятся абсолютно, дифференцируем по z второе равенство:
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/149.png)
69
6.6. z-преобразование
-
Сравнивая (*) с производной, получаем
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/150.png)
-
Это выражение позволяет рекурсивно, начиная с k = 0, найти z-преобразования сигнала для любых по-
-
ложительных целых k. Так, для k = 1
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/151.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/152.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/153.png)
70
6.6. z-преобразование
-
Пример (преобразование тригонометрических функций). Найти z-преобразование сигнала
-
Представим косинус в комплексной форме (формула Эйлера) и воспользуемся преобразованием экспонент.
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/154.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/155.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/156.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/157.png)
71
6.6. z-преобразование
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/158.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/159.png)
-
Аналогично получается z-преобразование сигнала
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/160.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/161.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/162.png)
72
6.7. Свойства z-преобразования
-
1. Линейность
-
Z(a f(n) + b g(n)) = a F(z) + b G(z)
-
2. Свойство сдвига (задержки)
-
Z(f(n-n0)) = F(z) z -n0
-
3. z-преобразование свертки
-
Если y(n) – свертка сигналов x1(n) и x2(n) , то
-
Y(z) = X1(z) X2(z)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/163.png)
73
6.7. Свойства z-преобразования
-
Свойство сдвига. Найти z-преобразование сигнала со сдвигом f(n - n0), если Z(f(n))=F(z).
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/164.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/165.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/166.png)
-
Предполагая, что ряды сходятся абсолютно, первый ряд, равный F(z), умножим на z-n0 и получим второй ряд. То есть
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/167.png)
74
6.7. Свойства z-преобразования
-
Сверткой двух дискретных сигналов x1(n) и x2(n), где n пробегает целые числа от -∞ до +∞, называется сигнал
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/168.png)
-
z-преобразование свертки. Если ряды, представляющий z-преобразования сигналов x1(n) и x2(n) сходятся абсолютно, то z-преобразование свертки равно произведению z-преобразований исходных сигналов :
-
Y(z) = X1(z) X2(z)
-
Утверждение доказывается перестановкой членов ряда.
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/169.png)
75
6.7. Свойства z-преобразования
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/170.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/171.png)
76
6.7. Свойства z-преобразования
Таблица z-преобразования (1)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/172.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/173.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/174.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/175.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/176.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/177.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/178.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/179.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/180.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/181.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/182.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/183.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/184.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/185.png)
![](http://files3.vunivere.ru/workbase/00/09/69/81/images/186.png)
77
6.7. Свойства z-преобразования