Преобразование Лапласа. Решение дифференциальных уравнений преобразованием Лапласа. Обратное преобразование Лапласа, страница 5

  • Проблему потери сигнала при дискретизации решает критерий Найквиста (Теорема Котельникова). Интервал дискретизации T должен быть в 2 или более раз меньше, чем период сигнала, который дискретизируют, то есть на периоде сигнала должно быть как минимум 2 точки дискретизации.
  • Это то же самое, что частота дискретизации должна быть в 2 или более раз больше, чем частота сигнала, который дискретизируют.

55

6.6. Дискретное преобразование Лапласа

  • Если ввести функцию единичного импульса

  • то можно записать весь дискретизированный сигнал через сумму импульсных сигналов.

  • Если обозначить x(t) – аналоговый сигнал, а x*(t) его дискретизация с интервалом T, то

56

6.6. Дискретное преобразование Лапласа

  • В частности, дискретизированная функция Хевисайда представляется в виде

  • Если сигнал f(t) задан для неотрицательного аргумента t, то считая его равным нулю для отрицательных t, дискретизированный сигнал f*(t) можно записать так:

  • Построим преобразование Лапласа от сигнала f*(t) :

57

6.6. Дискретное преобразование Лапласа

  • По свойству фильтрации элемент ряда равен

  • Получаем ряд

  • Для проверки сходимости ряда, используются признаки сходимости функциональных рядов. Формально заменим переменную s на новую переменную

  • Тогда Лаплас-образ дискретизированного сигнала f*(t) будет равен

58

6.6. Дискретное преобразование Лапласа

  • Из преобразование Лапласа получено дискретное преобразование для дискретного сигнала. Переменная дискретного времени kT перешла в частотную непрерыв-ную переменную s, а затем в новую частотную непрерыв-ную переменную z.
  • Построенное преобразование отличается от z-преобразо-вания областью индекса суммирования, для z-преобразо-вания индекс принимает целые значения от минус до плюс бесконечности, для построенного преобразования суммирование выполняется только от нуля до плюс бесконечности.
  • Тем не менее преобразования совпадают для сигналов f(t), которые обращаются в нуль для отрицательных от-счетов времени (значения сигнала f(t) до начала отсчета t=0 не учитываются).

59

6.6. z-преобразование

  • Для объекта с дискретным входным сигналом x(t) и дискретным выходным y(t) сигнал y(n) в момент времени n можно задавать в зависимости от значений входного сигнала x в предыдущие моменты времени, включая и момент n. Кроме того, выходной сигнал y может зависеть от своих значений в предыдущие моменты времени (обратная связь).
  • Принято обозначать текущий дискретный момент времени через индекс 0, а предыдущие моменты времени индексами -1,-2,-3, …. Тогда

60

  • Здесь a и b – числовые коэффициенты.

6.6. z-преобразование

  • По этой формуле можно вычислить значение выходного сигнала y в момент времени n, зная значения
  • 1) y на k предыдущих моментах;
  • 2) входного сигнала x на текущем и на m предыдущих моментах.
  • Уравнение предыдущего слайда называются уравнением в конечных разностях или разностным уравнением. По таким уравнениям нетрудно построить аппаратную реализацию объекта выходного сигнала, но трудно получить выражение для выходного сигнала в явном виде, что бывает необходимым во многих случаях, например, чтобы провести анализ объекта.

61

6.6. z-преобразование

  • Дифференциальные уравнения и разностные уравнения – близкие понятия. Если взять разность двух последовательных значений сигнала x(t) в моменты 0 и -1 и разделить на интервал ∆ между этими моментами, то по определению производной получим приближенное значение производной в точке 0 :

  • Это же соотношение можно записать иначе :

62

6.6. z-преобразование

  • Вторую производную в точке 0 можно приближенно вычислить как производную от приближенной первой производной :