Линейные преобразования и квадратичные формы: Учебное пособие

ВВЕДЕНИЕ

Учебно-практическое пособие для системы дистанционного образования по дисциплине "Математика" ("Линейные преобразования и квадратичные формы") предназначено для самостоятельной работы студента при нестационарной форме контроля знаний.

Специфика работы с пособием состоит в том, что студент сначала знакомится с базовыми понятиями и методами линейной алгебры, изложенными в соответствующих разделах, изучает практическую часть "Решение задач", а затем переходит к выполнению контрольной работы, предусмотренной программой. После выполнения контрольная работа направляется на рецензирование. В случае обнаружения рецензентом ошибок, выявления пробелов в знаниях рекомендуется еще раз вернуться к соответствующим разделам и проработать материал повторно, до полного усвоения неясностей.

Заключительным этапом работы по данному пособию является экзамен (зачет), вопросы к которому также приведены в заключительной части данного пособия.

В учебно-методическом пособии приведены достаточно подробные теоретические сведения из раздела линейной алгебры, той ее части, в которой рассматриваются преобразования пространств и квадратичные формы.

Часть утверждений и теорем приводится с доказательствами, в основном это те, доказательства которых являются конструктивными, т.е. позволяют решать практические задачи.

Материал иллюстрируется подробно решенными примерами, аналогичными тем, которые предлагаются в контрольной работе.

Предполагается, что читатель знаком с элементами линейной алгебры, которые рассматриваются в курсе вышей математики – это элементы алгебры матриц (действия над матрицами, понятие обратной матрицы, методы вычисления обратной матрицы, понятие ранга матрицы), элементы теории определителей (понятие определителя порядка п, методы вычисления определителей произвольного порядка) и систем линейных уравнений (методы решения систем линейных однородных и неоднородных уравнений).

Кроме того, при изложении широко используются сокращения, заимствованные из математической логики и теории множеств:

 – существует, найдется (квантор существования);

 – для любого, для каждого, для всякого (квантор всеобщности);

 – следует (логическое следствие);

 – равносильно (логическая равносильность);

– принадлежит (символ принадлежности);

 – содержится (символ включения);

,  – объединение и пересечение множеств.

1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

1.1.  Определение линейного пространства

Определение.Множество L называется  линейным пространством, а его элементы – векторами:

1)если определена операция сложения, которая  ставит в соответствие элемент из L, называемый суммой векторов, который обозначается ;

2)определена операция умножения на число, которая  и  ставит в соответствие элемент из L, называемый произведением вектора на число, который обозначается ;

3)  и выполняются аксиомы:

А1.  (коммутативность сложения),

А2.  (ассоциативность сложения),

A3.  такой, что  справедливо равенство  (существование нулевого элемента),