А4. такой,
что
(существование
противоположного элемента),
A5. ,
А6. ,
А7. ,
А8. .
Здесь определено
вещественное линейное пространство, если в 2) считать, что (C – множество
комплексных чисел), то линейное пространство будет называться комплексным.
Вектор называется
нулевым вектором.
Вектор называется
противоположным вектору
.
Сумма векторов и
называется разностью и
обозначается
.
Пример 1.1. Рассмотрим множество всех функций одной
независимой переменной t, определенных и непрерывных на отрезке . Любым двум
функциям
и
из этого множества
соответствует функция
в обычном
смысле, которая также определена и непрерывна на отрезке
, следовательно,
принадлежит этому множеству. Числу
и
функции
соответствует функция
(обычное произведение на
число), которая также определена и непрерывна на отрезке
. Нетрудно проверить, что
все восемь аксиом выполнены. Роль нуля выполняет функция
. Таким образом,
рассматриваемое множество функций является линейным пространством.
Пример 1.2. Множество всех квадратных матриц порядка так
же, очевидно, образует линейное пространство (см. первую часть курса
"Алгебра и геометрия").
Пример 1.3. Множество геометрических векторов в трехмерном пространстве – линейное пространство.
Простейшие следствия из аксиом
Следствие 1. В произвольном линейном пространстве нулевой элемент единственный.
Действительно, существование нуля гарантируется аксиомой 3.
Предположим, что
существует два нулевых элемента и
, тогда положив в
аксиоме 3 сначала
,
, получим
, а затем положим
,
, получим
. Левые части полученных
равенств равны на основании аксиомы 1, следовательно, равны и правые части этих
равенств, т.е.
.
Следствие 2. В произвольном линейном пространстве противоположный элемент единственный.
Аналогично предыдущему, пусть для вектора существует два
противоположных вектора
,
тогда, полагая в аксиоме 4:
, получаем
,
(*)
затем, полагая ,
получаем
, (**)
тогда в силу аксиом 1, 2, 3 имеем
откуда следует, что .
Определение. Выражение вида называется
линейной комбинацией векторов
.
Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если
и нетривиальной
в противном случае, т.е. если существует хотя бы одно не равное нулю (
).
Определение. Система векторов называется линейно
зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих
векторов, равная нулевому вектору, в противном случае система векторов
называется линейно независимой.
Таким образом, если
и
,
то система векторов линейно зависима, если же
только при
,
то система векторов линейно независима.
Теорема 1.1. Система из n (n > 1)векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.
Доказательство.
() Так
как система линейно зависима, то
:
и
.
Пусть, например, ,
тогда из последнего равенства
или
,
т.е. , где
, следовательно, вектор
– линейная комбинация
остальных векторов.
() Пусть
, перенесём
в правую часть и получим
нетривиальную линейную комбинацию, равную
(здесь
).
Теорема 1.2. Если некоторые из векторов, входящих в систему, образуют линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.
Доказательство. Пусть
– линейно зависимы,
– число векторов в
системе (
), тогда по теореме 1.1
,
следовательно, , где
, т.е. вектор
– линейная комбинация
векторов
, следовательно, по
теореме 1.1 вся система линейно зависима.
Теорема 1.3. Если система векторов линейно независима, то любая ее подсистема также линейно независима.
Доказательство. Пусть это не так, и в систему входит линейно зависимая подсистема векторов, тогда по теореме 1.2 вся система тоже линейно зависима, что противоречит условию теоремы. Следовательно, любая подсистема линейно независима.
Определение. Базисом в линейном пространстве L называется любая упорядоченная система векторов, обладающая следующими свойствами:
1) она линейно независима,
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.