Линейные преобразования и квадратичные формы: Учебное пособие, страница 2

А4.  такой, что  (существование противоположного элемента),

A5. ,

А6. ,

А7. ,

А8. .

Здесь определено вещественное линейное пространство, если в 2) считать, что  (C – множество комплексных чисел), то линейное пространство будет называться комплексным.

Вектор  называется нулевым вектором.

Вектор  называется противоположным вектору .

Сумма векторов  и  называется разностью и обозначается .

Пример 1.1. Рассмотрим множество всех функций одной независимой переменной t, определенных и непрерывных на отрезке . Любым двум функциям  и  из этого множества соответствует функция  в обычном смысле, которая также определена и непрерывна на отрезке , следовательно, принадлежит этому множеству. Числу  и функции  соответствует функция  (обычное произведение на число), которая также определена и непрерывна на отрезке . Нетрудно проверить, что все восемь аксиом выполнены. Роль нуля выполняет функция . Таким образом, рассматриваемое множество функций является линейным пространством.

Пример 1.2. Множество всех квадратных матриц порядка  так же, очевидно, образует линейное пространство (см. первую часть курса "Алгебра и геометрия").

Пример 1.3. Множество геометрических векторов в трехмерном пространстве – линейное пространство.

Простейшие следствия из аксиом

Следствие 1. В произвольном линейном пространстве нулевой элемент единственный.

Действительно, существование нуля гарантируется аксиомой 3.

Предположим, что существует два нулевых элемента  и , тогда положив в аксиоме 3 сначала ,  , получим , а затем положим , , получим . Левые части полученных равенств равны на основании аксиомы 1, следовательно, равны и правые части этих равенств, т.е. .

Следствие 2. В произвольном линейном пространстве противоположный элемент единственный.

Аналогично предыдущему, пусть для вектора  существует два противоположных вектора , тогда, полагая в аксиоме 4: ,  получаем

,                                                                   (*)

затем, полагая  ,  получаем

,                                                                 (**)

тогда в силу аксиом 1, 2, 3 имеем

откуда следует, что .

Определение. Выражение вида  называется линейной комбинацией векторов .

Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если

и нетривиальной в противном случае, т.е. если существует хотя бы одно  не равное нулю ().

Определение. Система векторов  называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, в противном случае система векторов называется линейно независимой.

Таким образом, если

   и   ,

то система векторов линейно зависима, если же

   только при   ,

то система векторов линейно независима.

Теорема 1.1. Система из n (n > 1)векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

Доказательство.

() Так как система линейно зависима, то

:   и .

Пусть, например, , тогда из последнего равенства

 

или

,

т.е.                               , где , следовательно, вектор  – линейная комбинация остальных векторов.

() Пусть , перенесём  в правую часть и получим нетривиальную линейную комбинацию, равную  (здесь ).

Теорема 1.2. Если некоторые из векторов, входящих в систему, образуют линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.

Доказательство. Пусть  – линейно зависимы,  – число векторов в системе (), тогда по теореме 1.1

,

следовательно, , где , т.е. вектор  – линейная комбинация векторов , следовательно, по теореме 1.1 вся система линейно зависима.

Теорема 1.3. Если система векторов линейно независима, то любая ее подсистема также линейно независима.

Доказательство. Пусть это не так, и в систему входит линейно зависимая подсистема векторов, тогда по теореме 1.2 вся система тоже линейно зависима, что противоречит условию теоремы. Следовательно, любая подсистема линейно независима.

1.2. Базис линейного пространства

Определение. Базисом в линейном пространстве L называется любая упорядоченная система векторов, обладающая следующими свойствами:

1) она линейно независима,