Линейные преобразования и квадратичные формы: Учебное пособие, страница 4

,

следовательно, по теореме 1.4

,                                                        (1.5)

умножая это равенство на матрицу  слева, получим

.                                                        (1.6)

Эти две формулы и определяют искомую связь координат вектора в разных базисах. В координатной записи эти формулы имеют вид:

,       , где  – элементы обратной матрицы .

2. ЛИНЕЙНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА

2.1. Определение линейного подпространства

Непустое множествоL' векторов из линейного пространства  называется линейным подпространством, если:

а)  ;

б)  .

Свойства а) и б) означают, что L' замкнуто относительно линейных операций – сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Из свойств а) и б) следует так же, что любая линейная комбинация векторов из L' снова принадлежит L' (следует несколько раз применить свойства а) и б)). В частности нулевой вектор  как произведение  и противоположный вектор  . Легко устанавливается справедливость всех аксиом пространства, следовательно,  в свою очередь является линейным пространством.

Пусть дано некоторое множество векторов Р из линейного пространства . Обозначим через L' совокупность всевозможных линейных комбинаций, каждая из которых составлена из конечного числа векторов из Р.

Теорема 2.1. Множество L', построенное выше, является подпространством в пространстве .

Доказательство. Пусть , тогда

    , где следовательно

,

т.е.  - линейная комбинация векторов из Р и значит .

Аналогично, , , имеем 

,  

– линейная комбинация векторов из Р, следовательно . Таким образом, свойства а), б) выполняются и L' является подпространством.

Построенное подпространство называется линейной оболочкой множества векторов Р.

Пусть  линейно независимая система векторов из Р, обладающая тем свойством, что каждый вектор из Р есть линейная комбинация этих векторов, тогда  образуют базис линейной оболочки Р и следовательно, любой вектор из Р можно представить в виде линейной комбинации векторов  (m = dim). Отсюда получаем, что размерность линейной оболочки конечного множества векторов не превосходит числа этих векторов.

В каждом линейном пространстве множество, состоящее из нулевого вектора, является линейным подпространством. Это подпространство называется нулевым.

Кроме того, множество всех векторов из пространства  является подпространством, т.е.  тоже подпространство.

Теорема 2.2.

1) Если L' – подпространство n-мерного линейного пространства , то dim < п.

2) Если  = п, то  совпадает с

.

Доказательство.

1) Исходя из любого ненулевого вектора, построим базис в L' так, как это было сделано при доказательстве теоремы 1.8. Процесс построения должен закончится не дальше чем на -м векторе, так как любая линейно независимая система векторов из L' есть такая же система в , следовательно, не может содержать более  векторов.

2) Пусть в L' базис содержит  векторов. Тогда любой вектор из  является линейной комбинацией базисных, следовательно, принадлежит L' и значит L' = .

Теорема 2.3. Если базис  подпространства  линейного пространства  дополнить до базиса  в , то в базисе  все векторы  из L' и только они будут иметь координаты .

Доказательство. Так как  - базис в , то :

, если , то , так как  – базис в L', то .

Обратно, если , то . Это же разложение будет разложением вектора  по базису , если положить  и записать .

А по доказанному выше – в любом базисе координаты вектора определяются однозначно.

2.2. Сумма и пересечение подпространств

Пусть L' и L" - два подпространства линейного пространства .

Определение. Линейная оболочка объединения подпространств  называется суммой этих подпространств и обозначается L' + L".

Таким образом, по определению

;

где  т.е. если обозначить

,то  .

Из теоремы 2.1 следует, что L' + L" – подпространство, таким образом, подпространство L' + L" состоит из векторов (и только из них), представляемых в виде , где ,  .

Определение. Множество векторов, которые одновременно принадлежат и L' и L", называется пересечением подпространств и обозначается .

Теорема 2.4. Пересечение подпространств  есть подпространство.