Линейные преобразования и квадратичные формы: Учебное пособие, страница 7

(*)

– однородную систему линейных уравнений с неизвестными , – нулевой столбец высоты m.

В соответствии с теоремой 3.4 – ранг отображения. Пусть размерность ядра равна . Из свойств множества решений однородной системы уравнений вытекает, что (доказать самостоятельно, что множество решений системы (*) – линейное подпространство размерности ).

Общее решение системы (*) было представлено в виде (см. линейная алгебра)

, где – фундаментальная система решений, следовательно , – линейная комбинация векторов , т.е.

, координатные столбцы которых – линейно независимы, следовательно, эти векторы тоже линейно независимы и значит – базис в , т.е. .

Таким образом, .

3.3. Изменение матрицы линейного отображения

при замене базисов

Рассмотрим линейный оператор , если в пространствах и выбраны базисы , соответственно, то определяется матрицей . Пусть и - другая пара базисов в и соответственно, связаны с матрицами переходов Т и Р, т.е. (см. раздел 1)

В базисах оператор имеет матрицу . Как связаны матрицы и ?

Пусть:

– образ вектора при отображении ;

Х, Х' – координатные столбцы вектора в базисах е, е';

– координатные столбцы вектора в базисах . Из раздела 1 известно, что

Подставим X, Y в формулу (3.4) и получим:

Так как матрица перехода всегда является невырожденной, то .Умножим последнее равенство на матрицу слева, получим

, но , откуда получаем

(3.5)

- формулу преобразования матрицы линейного оператора при замене базисов.

Из определения отображения : ( – существует единственный)такой, что ; если справедливо и обратное, т.е. каждый является образом только одного вектора , то отображение называется взаимно однозначным.

Иначе, если

, то , или

такой, что .

Теорема 3.6. Отображение – взаимно однозначно (биективно) тогда и только тогда, когда размерности пространств совпадают и равны рангу отображения .

Доказательство. В этом случае отображение является и наложением, т.е. rang = т, и вложением, т.е. (на основании теоремы 3.5).

Определение. Взаимно однозначное отображение называется изоморфизмом.

Если существует изоморфизм на , то и называются изоморфными.

Теорема 3.7. Два пространства изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны. Доказательство (см. теорему 3.3 и теорему 3.5).

Значение теоремы об изоморфизме состоит в том, что линейные пространства могут состоять из чего угодно: столбцов, многочленов, чисел, функций, матриц, направленных отрезков, дынь, арбузов – природа их элементов роли не играет, когда изучаются только свойства, связанные с операциями сложения и умножения на число. Все эти свойства у двух изоморфных пространств совершенно одинаковы. С алгебраической точки зрения два изоморфных пространства тождественны. Если условимся не различать эти пространства, то в силу теоремы 3.3 для каждой размерности найдется только одно линейное пространство.

Пример 3.1. Определить ранг и дефект линейного преобразования, а также найти базисы образа и ядра при преобразовании .

Решение. Пусть в выбран базис , тогда в этом базисе матрица преобразования будет иметь вид:

По определению вектор принадлежит образу при преобразовании в том и только том случае, когда найдется вектор такой, что , или в координатной записи по формуле (3.4):

Это равенство означает, что образ совпадает с линейной оболочкой системы векторов , так как . Следовательно, ранг оператора , который совпадает с рангом его матрицы, равен двум. В качестве базиса можно взять любой базис линейной оболочки векторов , например, – они линейно независимы.