Технические измерения и обработка результатов. Статистическая обработка прямых равнорассеянных измерений: Методические указания к лабораторным работам № 1-2 по курсу "Метрология, стандартизация и технические измерения", страница 10

В качестве погрешности точечной оценки истинного значения измеряемой величины принимается выражение

Полученные оценки (1.2, 1.5) позволяют записать итог измерения в виде 

что позволяет сделать некоторые выводы о точности проведённых измерений.

Результаты наблюдений как случайная величина отличается тем, что могут чаще или реже принимать те или иные значения. Другими словами, вероятности принятия случайной величиной различных значений различны.

Вероятностью события (принятия случайной величиной конкретного значения) называется численная мера p(x), принимающая значения от 0 до 1 и характеризующая степень возможности появления в рассматриваемой ситуации (опыте).

Вероятности, с которыми данная случайная величина принимает различные значения, определяют собой в совокупности закон распределения вероятностей данной случайной величины.

При анализе погрешностей измерений наиболее часто приходиться сталкиваться с нормальным законом распределения. Наиболее важным условием его возникновения является формирование признака как суммы большого числа взаимно независимых слагаемых, ни одно из которых не характеризуется исключительно большой по сравнению с другими дисперсией. Нормальный закон является предельным случаем остальных известных законов распределения.

Помимо точечной оценки истинного значения измеряемой величины возможна оценка параметров с помощью интервалов, которая заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров.

Пусть в результате n наблюдений измеряемой величины Q получили оценку действительного значения Q_д, равного среднему арифметическому . Последнее является случайной величиной, имеющей среднее квадратическое отклонение . Необходимо найти интервал значений измеряемой величины, которой с заданной вероятностью накрывает истинное значение. Такой интервал называют доверительным, а заданную вероятность доверительной

Соответственно вероятность погрешности

Доверительный интервал и доверительная вероятность – параметры характеризующие достоверность результатов измерений. Выбор доверительной вероятности не является математической задачей, определяется конкретно решаемой проблемой. Половину длинны симметричного доверительного интервала t_p   называют доверительной границей или предельной погрешностью результатов измерений при доверительной вероятности α. Доверительный интервал и предельную погрешность выражают через СКО.

Интервальное оценивание особенно необходимо при малом числе наблюдений, когда точечная оценка в значительной мере случайна, а следовательно малодостоверна.

В случае малого числа измерений (2<n<20), когда распределение результатов наблюдений нормально , но дисперсия генеральной совокупности (n→∞) неизвестна для нахождения доверительных интервалов пользуются соотношением

называемым дробью Стъюдента, где t_np – нормированная переменная отклонения. Входящие в неё величины и  вычисляются на основании опытных данных, они представляют собой точечные оценки среднего арифметического (математического ожидания) и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений (5.1, 5.4).

Доказано [7], что вероятность того, что дробь Стъюдента в результате выполняемых наблюдений (измерений) примет некоторые значения в интервале (-t_np; + t_np) представляется выражение

где   R – число степеней свободы – равно n-1,

S (t,Â) – плотность распределения дроби Стъюдента.

Величины t_np табулированы для различных значений доверительной вероятности p в пределах 0,10 – 0,99 при Â= n – 1 =1,2,3…30. Коэффициент t_np зависит не только от доверительной вероятности, но и от числа измерений.