Проблема устойчивости нелинейных систем и методы её решения. Постановка общей задачи исследования устойчивости движений динамических систем по Ляпунову

Проблема устойчивости нелинейных систем и методы её решения

Исходные положения

В теории ЛСАУ, изучая проблему устойчивости, не разделяют  понятий "устойчивости отдельных динамических процессов" и "устойчивости системы". Эти понятия были равноценны. Благодаря постоянству параметров звеньев ЛСАУ и независимости их от величины начальных условий считают, если устойчив какой-либо процесс, то устойчива и сама ЛСАУ.

               Совершенно иначе могут протекать динамические процессы в НСАУ. Во-первых, характер этих процессов может быть устойчивым или неустойчивым в зависимости от величины начальных условий. Во-вторых, различныекомбинации одних и тех же звеньев в НСАУ приводят их к различной динамике.

Поэтому для математических моделей и реальных нелинейных систем различают следующие понятия (формы, виды) устойчивости отдельных свободных динамических процессов:

Итак, свободные динамические процессы НСАУ могут быть устойчивы:

"в малом", при малых отклонениях начальных условий (НУ);

"в большом", при больших отклонениях начальных условий;

"в целом", при любых отклонениях начальных условий;

Кроме того, эти же процессы (или сами НСАУ) могут быть устойчивы: "орбитально", "асимптотически", или "абсолютно".

Последние три формы устойчивости нуждаются в пояснениях.

Режим орбитальной устойчивость (автоколебаний) может возникнуть в НСАУ после начальных отклонений её координат  на некоторые определенные величины, при которых, свободный динамический процесс не затухает  а входит в режим моно- или полигармонических незатухающих колебаний с постоянным периодом и амплитудой. Такой режим может возникнуть из-за определенной структуры и комбинаций параметров НЧ и ЛЧ системы или быть специально реализован.

Естественно, орбитальная устойчивость движений может быть и "в малом" и "в большом" и "в целом", что определяется амплитудой незатухающих колебаний. Технические устройства, основанные на использовании орбитальной устойчивости НСАУ "в большом", широко используются в современной радиотехнике, телевидение, промышленной электронике.

В технических устройствах НСАУ чаще используют элементы и блоки орбитально устойчивые "в малом".

Асимптотическая устойчивость возможна в первых трех её формах, когда по окончании свободного движения система возвращается в "начальную" или иную близкую точку (при наличии сил трения покоя) с нулевыми производными по всем координатам.

Если процессы устойчивы "в целом", то нелинейную систему можно считать устойчивой, поскольку в ней устойчивы движения при любых начальных отклонениях.

Абсолютной устойчивостью могут обладать системы с нелинейностями, принадлежащими определенному классу, если они асимптотически устойчивы "в целом". Это не структурная классификация НСАУ, которая была принято ранее. Сущность её поясним позднее.

Постановка общей задачи исследования устойчивости движений

динамических систем по Ляпунову.  Определение устойчивости

Это определение "устойчивости" движений в любых физических системах дано в 1892г. великим российским математиком Александром Михайловичем Ляпуновым (1857 - 1918г.г.). Оно общепризнанно в мировой науке. Определение сложно для изучения (и усвоения), но очень ёмко по содержанию.

Во-первых, по физическому смыслу, как понимать состояние "устойчивости"? Это характер изменения (свойство) какого-то динамического процесса системы? Или "устойчивость" это свойство самой системы, то есть любых её динамических процессов?

Во-вторых, чем вызваны динамические процессы, то есть каковы их причины?

В теории автоматического управления имеют дело не с реальными системами, а с их моделями. Следовательно, об устойчивости систем судят по устойчивости моделей. Механическая часть физически реальной САУ описывается уравнениями Лагранжа (второго или первого рода), электрическая часть - уравнениями электродинамики, а информационная часть - уравнениями теории электронных цепей. Эти модели чаще всего представлены  дифференциальными  уравнениями.

Поэтому проблема устойчивости САУ обсуждается в терминах и понятиях математики, но с учетом  физической сущности системы.

Итак, устойчивость динамического процесса физической системы есть способность его возвращаться к первоначальному состоянию после снятия внешнего воздействия на систему. Поскольку этот процесс совершается после снятия воздействия, то, следовательно, он (динамический процесс) является одним из свободных движений изучаемой физической системы. Причиной, вызвавшей это движение, является  потенциальная энергия, запасенная физической системой до начала движения.

Если любые свободные движения системы от всех имеющихся внешних воздействий на неё устойчивы, то считается устойчивой собственно система. Такова физическая сущность проблемы устойчивости линейных и нелинейных систем автоматического управления.

В терминах математики для моделей НСАУ вышеизложенное означает, что необходимо исследовать различные решения однородного дифференциального уравнения, описывающего свободные движения модели при различных начальных условиях. В этих терминах и формулируются условия устойчивости динамических систем в первом методе А.М. Ляпунова.