Проблема устойчивости нелинейных систем и методы её решения. Постановка общей задачи исследования устойчивости движений динамических систем по Ляпунову, страница 5

Чаще решается обратная задача. Если  задать  матрицу    (положительно определенную симметрическую), например (единичную), тогда производная функции Ляпунова будет отрицательной . В этом случае если матрица H, найденная из уравнения (14), является положительно определенной матрицей, то система (11) – асимптотически устойчива в целом (матрица А имеет собственные числа с отрицательными вещественными частями), иначе система будет неустойчива.

Сформулирована и доказана следующая теорема:

Необходимое и достаточное условие асимптотической  устойчивости в целом положения равновесия линейной автономной системы (11) заключается в том, что для произвольной  симметрической положительно определенной матрицы G существует симметрическая положительно определенная матрица H,  найденная из уравнения (14).

Следствие. Если начало координат линейной автономной системы (11) устойчиво, то существует единственная функция Ляпунова вида (12), где матрица H удовлетворяет уравнению (14), и G - произвольная положительно определнная матрица.

V-функция А.И. Лурье для нелинейных систем

Исключительно важное практическое значение имело предложение (1951г.) Анатолия Исааковича Лурье о V-функции для системы с единственной нелинейностью.

А. И. Лурье (1901г. – 1980г). В 1925г. закончил "физико-механический факультет Политехнического института. В 28 лет (1929 г) профессор. В 32 года доктор технических наук (1933г.). Чл. корр. АН СССР (1961г.). Организатор и первый заведующий кафедрой "Динамика и прочность машин" (теперь "Механика и процессы управления").

Пусть имеется замкнутая САУ со статической  сосредоточенной нелинейностью вида  F(δ). Это может быть любая комбинация линейных и нелинейных звеньев, частью охваченных линейными или нелинейными обратными или прямыми связями. Лишь бы была известна их обобщенная аналитическая характеристика F(δ). ЛЧ системы – статическая, то есть не имеет астатизма любой степени и неминимально фазовых звеньев в знаменателе.

Система описывается следующими уравнениями:

Объект: .    Нелинейность   :     

(Нелинейность находится в I и III квадрантах).                                                         

,  где r – коэффициент местной OОС. Данная система является системой непрямого регулирования (например, система управления летательными аппаратами, где гидравлический привод перемещает рулевые органы, изменяя тем самым движение летательного аппарата).

Введем замену переменных , обозначая . Тогда исходная система будет приведена к системе прямого регулирования, описываемой уравнениями (получены при условии ):

                                                                                                               (15)

Как уже было сказано, А.И. Лурье предложил для рассматриваемой системы функцию Ляпунова вида (10):

.

Функция Ляпунова является положительно определенной, если положительны оба слагаемых, ее составляющие.

Производная  V-функции:  .

После ряда подстановок и преобразований (с учетом замены  и )  получаем:  .                                                                                                              (16)

Матрица Q– произвольная симметрическая положительно определенная (тогда и матрица Р,  получаемая в результате решения уравнения Ляпунова, также будет положительно определенной).

Выражение (16) может быть записано в виде:

.                                                                                                              (17)

Для отрицательности  необходимо, чтобы матрица была положительно определенной, а для этого достаточно, чтобы ее определитель был положительным, поскольку матрица Q – уже положительно определенная. Введем матрицу , определитель которой положителен, а 0 – нулевой вектор. Отсюда следует, что определитель произведения этих матриц

.=

также должен быть больше нуля: , или

.                                                                                                              (18)

При выполнении неравенства (18) введенная функция (10) действительно является функцией Ляпунова, а исходная система будет абсолютно устойчива.

Для системы прямого регулирования: