Определение усилий. Методы расчета. Расчет статически неопределимых систем. Формулы для расчета интегралов

6. Определение усилий

6.1. Методы расчета

Связанность тела как единого целого обусловлена силами взаимодействия атомов (электромагнитные силы). Внешние нагрузки и воздействия стремятся вызвать деформацию тела путем изменения межатомных расстояний и взаимного положения атомов, что приводит к изменению сил их взаимодействия, вызывая сопротивление материала деформации. Степень сопротивляемости определяется величинами внутренних сил и соответствующих им напряжений (интенсивность действия внутренних сил). Для их определения применяют различные методы.

6.1.1. Расчет статически определимых систем

Внутренние силы в статически определимых системах находят с помощью специального приема – метода сечений (статический метод), сущность которого заключается в следующем:

1)  рассекают тело в определенном сечении воображаемой плоскостью (рис. 6.1, а);

2)  мысленно отбрасывают одну из образовавшихся частей (обычно ту, к которой приложено больше сил). Этим нарушают (условно) равновесие оставшейся части;

3)  заменяют действие отброшенной части на оставшуюся внутренними силами р₁, р₂… р_i (рис. 6.1,б);

4)  составляют уравнения равновесия всех сил, приложенных к оставшейся части.

Внутренние силы, согласно правил теоретической механики, могут быть приведены к центру тяжести сечения и, таким образом, заменены главным вектором R и главным моментом М (рис. 6.1,в). Каждый из этих двух статических эквивалентов внутренних сил можно представить в виде трех составляющих по осям координат x, y, z (N, Q_x, Q_y, M_x, M_y, M_z - рис. 6.1,г), где N – продольная (нормальная) сила, Q_x и Q_y – поперечные силы вдоль осей x и y, M_x и M_y  - изгибающие моменты относительно осей x и y, M_z – крутящий момент относительно оси z.

Эти компоненты главного вектора и главного момента называются внутренними силовыми факторами или усилиями. Для их определения имеется шесть уравнений равновесия:

SX = 0; SY = 0; SZ = 0; S M_x = 0; S M_y = 0; S M_z = 0.                               (6.1)

Усилия связаны с конкретными видами деформаций.

Чтобы судить о прочности элементов конструкции, необходимо знать наибольшие внутренние силы р_i, возникающие  в отдельных точках сечения. Для их определения равнодействующую внутренних сил DR (рис. 6.2, а), действующую в окрестности точки С приводят к элементарной площадке DА_С (при условии стягивания ее в точку С) – получают напряжения в данной точке рассматриваемого сечения:

            .                                                                                     

Нормальная составляющая (по отношению к сечению) р – нормальное напряжение s, касательная – касательное напряжение t (рис. 6.2, б).

Метод сечений применяется в виде способа моментной точки (часто называемым способом сквозных сечений, т. к. предполагает мысленное рассечение конструкции или ее элемента “насквозь”, см. рис.6.3, а) и способа вырезания узлов (мысленно сечением вырезается отдельный узел).  В способе вырезания узлов с помощью уравнений статики производится уравновешивание (составляются уравнения проекций: SХ = 0; SY = 0) отдельного узла (рис.6.3, б), а в способе сквозных сечений – уравновешивание (составляется уравнение моментов относительно моментной точки SМ = 0, а при необходимости и уравнения проекций) отсеченной части конструкции (рис. 6.3, в).

6.1.2. Расчет статически неопределимых систем

Применяются разные методы расчета статически неопределимых систем: метод сил, метод перемещений, смешанный метод, метод конечных элементов и т.д. Общим для них является то, что расчету подлежит не заданная, а преобразованная система, эквивалентная ей в статическом и кинематическом  отношениях (все усилия и перемещения в эквивалентной системе должны быть такими же, как и в заданной).

Условия эквивалентности систем выполняются при соблюдения заменяемости связей, согласно которому:

любая i-я связь может быть разрезана (удалена), если вместо нее приложена обобщенные силы Xi и принято, что взаимное перемещение, соответствующие этим силам, равно нулю, т.е.

Di = 0;

любая i-я связь может быть введена, если при этом введенная связь получит соответствующее перемещение Z_i и будет принято, что реакции (усилия) в этой связи равны  нулю, т.е.

Ri = 0.

Система, получаемая из заданной путем удаления или введения связей называется основной системой, а соответствующие ей неизвестные Xi и Ri – основными неизвестными. Если основная система получается из заданной только путем удаления связей и основными неизвестными являются силы Xi, то метод расчета называется методом сил; если основная система получается из заданной только путем наложения связей и основными неизвестными являются перемещения Zi, то метод расчета называется методом перемещений; если основная система получается из заданной только путем одновременного и удаления, и наложения  связей и основными неизвестными являются силы Xi и перемещения Zi, то метод расчета называется смешанным.

6.1.2.1. При небольшом количестве лишних связей часто пользуются методом сил.

Расчет начинается с выбора основной системы: в заданной системе удаляют все лишние связи, чтобы получилась  неизменная и статически определимая система. Так как разрезать разрезать замкнутый стержень или врезать шарнир можно в различных точках, основных систем можно составить множество. Усилия, которыми заменяется отброшенная связь, - лишние неизвестные.