Исследование негармонических колебаний. Анализ негармонических колебаний с использованием теоремы Фурье, страница 9

Обратим  внимание на важнейшее правило: периодические сигналы порождают дискретные (линейчатые) спектры, а непериодические - сплошные (непрерывные).

Амплитуды спектральных составляющих определяются с помощью ряда Фурье. Если в выражении ряда Фурье положить T = , то ряд Фурье вырождается в математическое выражение, называемое интегралом Фурье. Совокупность амплитуд непрерывного спектра на различных частотах называется спектральной плотностью. Таким образом, амплитуды отдельных гармонических составляющих рассчитывают с помощью ряда Фурье, а амплитудные значения спектральных плотностей - с помощью интеграла Фурье.

Получим еще одно весьма важное соотношение. Пусть имеется непериодический сигнал прямоугольной формы длительностью t_и. Спектр такого сигнала, очевидно, будет сплошным, но конечной ширины, поскольку при t_и > 0 номер частоты "первого нуля" меньше . Можно показать, что практическая ширина спектра  короткого одиночного импульса близка к значению 1/t_и, причем это соотношение тем  точнее, чем короче длительность импульса (рисунок 1.11).

Рисунок 1.11 – Непериодический прямоугольный сигнал и его  спектр

Строго говоря, для импульсов различных форм произведение  может несколько отличаться от единицы ,но в большинстве случаев эта разница невелика и при приближенных вычислениях ширину спектра коротких непериодических сигналов оценивают как величину, обратную длительности импульса, вне зависимости от его формы.

Прокомментируем еще на одном примере разницу между периодическими и непериодическими сигналами. Допустим, что имеется периодический сигнал прямоугольной формы со скважностью S = 2, периодом 100 мкс. В этом случае спектр этого сигнала будет дискретным (сигнал периодический), с частотой первой гармоники 10кГц (f₁ = 1/T = 1/100 · 10^-6 = 10⁴ Гц = 10 кГц), с амплитудами, уменьшающимися по линейному закону (у прямоугольных сигналов со скважностью 2Umk = (1/k)Um₁ (рисунок 1.12)). Наличие такого спектра означает, что если приемник настроен на частоту 10 кГц, то он почувствует наличие некоторого напряжения на этой частоте. Но на частотах от несколько большей 10 кГц до несколько меньшей 30 кГц, приемник никакого напряжения не обнаружит.  На частоте 30 кГц приемник почувствует напряжение в три раза меньшее, чем на 10 кГц, а затем снова от 30 до 50 кГц никаких  напряжений не будет. На 50 кГц возмущение  будет  в пять  раз  меньше,  чем  на  10 кГц, а затем будет  снова  провал  до 70  кГц и так далее.

Рисунок 1.12 – Спектральная диаграмма

Совершенно иным получается спектр при непериодическом сигнале. Пусть длительность импульса составляет также 100 мкс. В этом случае образуется сплошной спектр, занимающий диапазон 0 …≈ 10 кГц и приемник будет обнаруживать напряжения на любой частоте данного диапазона. Если длительность импульса будет не 100 мкс, а, например, только 1 мкс, то спектр станет в сто раз шире и будет иметь ширину 0 …≈ 1 МГц (10⁶ Гц). Таким образом, чем короче непериодический сигнал, тем более широкий спектр он порождает.

Чтобы передать без искажений импульс длительностью 1 мс необходимо иметь устройство, обеспечивающее полосу пропускания всего 1 кГц, а для неискаженной передачи импульса длительностью 1 мкс необходим тракт с полосой в 1000 раз шире, то есть 1 МГц. Следовательно, чем короче импульс, который необходимо передать без искажений, тем более широкая полоса пропускания должна быть обеспечена техническим устройством. Передавать без искажений короткие импульсы труднее, чем длинные. Если тракт или какое-то устройство имеет недостаточно широкую полосу пропускания, то сигнал на выходе будет искаженным по сравнению с сигналом на входе. В частности, искажения сигналов прямоугольной формы состоят в "затягивании" фронтов (рисунок 1.13). Если полоса пропускания устройства не уже спектра передаваемого сигнала, то кривая на выходе повторяет кривую на входе (кривая 1); если полоса пропускания устройства несколько меньше спектра сигнала, то появятся незначительные искажения (кривая 2); при еще более узкой полосе - искажения  возрастают (кривая 3). В частности, при работе с осциллографами всегда следует знать его полосу пропускания, в противном случае изображение на экране может оказаться искаженным по сравнению с сигналом, подведенным ко входу осциллографа.