Системы случайных величин. Понятие о предельных теоремах теории вероятностей

Лекция 4. Системы случайных величин. Понятие о предельных теоремах  теории вероятностей. Математическая статистика и её основные задачи

При изучении случайных явлений часто приходится иметь дело с несколькими случайными величинами. Совокупность с.в. Х и Y, рассматриваемых совместно, называется  системой двух случайных величин (или двумерной случайной величиной) и обозначается (Х, Y).  Например, точка попадания снаряда характеризуется системой (Х, Y) двух случайных величин – абсциссой Х и ординатой Y.

Функцией распределения F x y( , )системы (Х, Y) называют функцию, ставящую в соответствие каждой паре вещественных чисел (x y^, ) вероятность совместного выполнения неравенств X < x, Y < y , т.е. 

                       F x y( , ) = P X( < x Y, < y)                                                  (1)

Геометрическифункция распределения имеет смысл вероятности попадания случайной точки (Х,Y) в бесконечный квадрант с вершиной в точке (x y, ), лежащий левее и ниже её. 

При этом легко найти функции распределения каждой из с.в., входящих в систему (X,Y). Для св Х. . : F_X (^x) = ^{P X}( < ^x) = P X( < x Y, < ∞) = limy→∞ F x y( , ).

                          Для св. . Y : F_Y ( )y = P Y( < y) = P X( < ∞,Y < y) = limx→∞ F x y( , ).

Геометрическая интерпретация: F x y( , ), F_X (x), F_Y (y) – это вероятности попадания случайной точки  в соответствующие заштрихованные области (см. рисунок).

                                                             y                                               y

y

Основные свойства функции распределения системы двух с.в. аналогичны свойствам функции распределения одной с.в.:

1.  0 ≤ F x y( , ) ≤ 1.

2.  F x y( , ) −неубывающая функция по каждому из аргументов т е,      . .          

                      при x₂ > x₁     F x( ₂,y) ≥ F x( ₁,y);   при y₂ > y₁  F x y( , ₂) ≥ F x y( , ₁).

3.  _{F x}( ,− ∞) = _F (−∞, _y) = _F (−∞ − ∞,          ) = 0.

4.  F x( ,∞ =)        F_X ( )x , F (∞, y) = F_Y ( )y .  

5.  F (∞ ∞ =, ) 1.

Для системы непрерывных с. в. рассматривают плотность вероятности 

                  .                                                           (2)

Её свойства:

1.  f x y( , ) ≥ 0

                           ^{∞ ∞}                                                

2.  ∫ ∫ f x y dxdy( , )         = 1.

−∞−∞

Функция распределения выражается через плотность вероятности по формуле: x y

                   F x y( , )= ∫ ∫ f s t dsdt( , )    .

−∞−∞

Система дискретных случайных величин (ДСВ) и её матрица распределения

Матрицей распределения системы ДСВ (X Y^, ) называют таблицу, в которой перечислены все возможные значения x_i с.в. X (i = 1,2,...,n), все возможные значения y_j с.в.

^Y ( j = 1,2,...,^m) ,  а также вероятности p_{i j} = P X(  = x Y_i , = y _j ).

Зная матрицу распределения, можно составить ряды распределения для X и Y.  Например, ряд распределения  с.в. X: 

xi	x1	x2	...	xn
pi	p1	p2	...	pn

                                                 m                             n    m

Здесь p_i = P(ξ= x_i ) ⁼ ∑p_{i j} ,             ∑∑p_{i j} = 1.

                                                j=1                        i= =1 j 1

Условные законы распределения. Независимость с.в. 

Условным законом распределения с.в. Y, входящей в систему (X Y, ), называют закон её распределения, вычисленный при условии, что с.в. Х  приняла определённое фиксированное значение. 

Для системы дискретных с.в., заданной приведённой выше матрицей распределения,   p_{i j} − вероятность совместного выполнения равенств (X = x_i ) и (Y = y _j ), т.о. p_{i j} − это вероятность произведения событий A ⁼{X = x_i} и B ⁼{Y = y _j}:

p_{i j} =P X x Y y( = _i , = _j ) =P AB( ) =P A P B A( ) ( ) =P B P AB( ) () .  Отсюда получаем   _{P AB}( ) ₌ ^{P AB}( ) ,  

P B( )

                                              () P X x Y y( = i , = j )        pi j      ,                          (3)

                         P X x Y y= i= j = = n P Y y( = _j ) ∑pi j

i=1

 аналогично _{P BA}( ) ₌ ^{P AB}( ) , P A( )

                     P Y y X x( = j= i ) = ^{P X x Y y}( P X x⁼( ⁱ=^,      i⁼) ^{j )} ∑^{pi j}pi j .                              (4)  

= _m

j=1  

Вероятности, найденные по формулам (3) или (4), образуют условные ряды распределения, при условии, что, соответственно, Y = y _j или X = x_i . Как и для любого ряда распределения сумма этих вероятностей равна единице:

nm

                              ∑P X( = x Y_i = y _j ) ⁼ ∑ P Y( = y _j  X = x_i) = 1.

                              i=1                                          j=1

Для системы непрерывных с.в. (X Y^, ) вводится условная плотность вероятности. Обозначим

          f_X (x y) = ^ff(Y ^{x y}( )^,_y ) = _∞∫ f^f ((_{x y dx}^{x y}_,^, ))                                                      (5)

−∞

условную плотность вероятности Х при условии, что Y = y ; предполагается, что знаменатель отличен от нуля. Аналогично 

          f_Y ( y x) = ^ff(X^{x y}( )^,_x ) = _∞∫ f^f ((_{x y dy}^{x y}_,^, )) .                                                  (6)