Даже для сильно зависимых с.в. при слабом рассеивании любой из них ковариация мала, поэтому вводят ещё одну числовую характеристику − коэффициент корреляции, являющийся лучшей оценкой степени влияния одной с.в. на другую.
K
rXY, (15)
X Y
где σX
= DX , σY = DY .
1. 
Коэффициент корреляции
не превосходит 1 по абсолютной величине, т.е. rXY ≤ 1.
2. Если Х и Y независимы, то rXY = 0.
3. Если случайные величины Х и Y связаны линейной зависимостью, т.е.
Y
= aX + b a, ≠ 0 , то rXY = 1, причём rXY = 1 при a > 0, rXY = −1 при a < 0.
4. Если rXY = 1, то с.в. Х и Y связаны линейной
зависимостью.
Коэффициент корреляции − показатель того, насколько связь между с.в. близка к строгой линейной зависимости.
При rXY > 0 величины X и Y одновременно возрастают или убывают, в этом случае говорят, что они связаны положительной корреляцией; при rXY < 0 с ростом одной из них вторая убывает – они связаны отрицательной корреляцией.
Для зависимых с.в. справедливы равенства:
D X[ ±Y ] = DX + DY ± 2cov(X Y, )
(17)
M X Y[ ⋅ ] = MX MY⋅ + cov(X Y, )
Для непрерывной с.в.
Y условным математическим ожиданием при условии, что X
x=
, называется число, обозначаемое M Y x() и равное
∞
M
Y x()
= ∫ yfY (y x dy) .
(17)
−∞
Зависимость условного математического ожидания с.в. Y от значений x с.в. X называется функцией регрессии Y по Х. График этой функции называется линией регрессии. Функция регрессии Y по Х показывает, как в среднем с.в. Y зависит от значений x, принимаемых с.в Х.
Эти теоремы устанавливают связь между теоретическими и экспериментальными значениями случайных величин при большом числе испытаний над ними. Предельные теоремы составляют основу математической статистики. Их условно делят на две группы. Первая группа теорем, называемая законом больших чисел (коротко ЗБЧ), устанавливает устойчивость средних значений: при большом числе испытаний их средний результат перестаёт быть случайным и может быть предсказан с достаточной точностью.
Вторая группа теорем, называемая центральной предельной теоремой (коротко ЦПТ), устанавливает условия, при которых закон распределения суммы большого числа случайных величин неограниченно приближается к нормальному.
В различных теоремах ЗБЧ используется понятие «сходимости случайных величин по вероятности». Дадим его определение.
Случайные величины X1, X2,..., Xn,... сходятся по вероятности
к величине А (случайной или неслучайной), если для любого ε> 0 вероятность события {
Xn − A <ε}
при n → ∞ стремится
к единице, т.е. lim P( Xn − A <ε)
= 1.
n→∞
Сходимость по вероятности требует, чтобы неравенство Xn − A <ε
выполнялось для подавляющего числа членов последовательности, а при n → ∞ практически все члены
последовательности должны попасть в ε−окрестность А.
Основное утверждение ЗБЧ содержится в теореме П.Л Чебышёва (1886 г.): Если случайные величины X1, X2,..., Xn,... независимы и существует такое число С > 0, что
DXi ≤ C (i = 1,2,...), то для любого ε> 0 среднее арифметическое этих случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.
Эта теорема обосновывает постоянно используемый на практике «принцип среднего арифметического» случайных величин Xi : пусть произведено n независимых измерений некоторой величины, истинное значение которой «а» неизвестно. Результат каждого измерения есть с.в. Xi . В качестве приближённого значения величины «а» можно взять среднее арифметическое результатов измерений
1∑n 
a
≈ Xi
= X .
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.