Системы случайных величин. Понятие о предельных теоремах теории вероятностей, страница 4

n i=1

Равенство тем точнее, чем больше n .

На теореме Чебышёва основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого в том, что о качестве большого количества однородного материала можно судить по небольшой его пробе.

Теорема Чебышёва подтверждает связь между случайностью и необходимостью: среднее 

1∑n

значение с.в. X = X_i при большом числе измерений практически не отличается от n i=1

n

1∑

неслучайной величины MX_i . n i=1

            Исторически первой и наиболее простой формой ЗБЧ является теорема Бернулли (1713 г.). Она теоретически обосновывает свойство устойчивости относительной частоты: если вероятность появления события А в одном испытании равна  « p » и в «n » испытаниях это событие наступило n_A раз, то для любого ε> 0 относительная частота

^nA события А сходится по вероятности к вероятности « p » этого события, т.е.

n

ⁿ

  lim P^A − p<_ε = 1. n→∞ n

Теорема Бернулли теоретически обосновывает возможность приближённого вычисления вероятности события с помощью его относительной частоты. Так, например, за вероятность рождения девочки можно взять относительную частоту этого события, которая, согласно статистическим данным, приближённо равна 0.485. 

Математическая статистика и её основные задачи

Это наука о методах сбора, систематизации и анализа результатов наблюдений массовых случайных явлений. Она тесно связана с теорией вероятностей. Обе эти математические дисциплины изучают массовые случайные явления. Связующим звеном между ними служат предельные теоремы  теории вероятностей. При этом теория вероятностей  выводит из математической модели свойства реального процесса, а математическая статистика устанавливает свойства математической модели, исходя из результатов наблюдений (говорят «из статистических данных»).  

Предметом математической статистики является изучение случайных величин (или случайных событий, процессов) по результатам наблюдений. 

•  Полученные в результате опыта данные нужно сначала каким-то образом  обработать: упорядочить, представить в удобном для обозрения и анализа виде. Это первая задача. 

•  Вторая задача – оценить, хотя бы приблизительно, интересующие нас  характеристики наблюдаемой случайной величины. Например, дать оценку неизвестной вероятности события, оценку параметров распределения, вид которого неизвестен, и т.д. 

•  Третья задача – проверка статистических гипотез, т.е. решение вопроса  согласования результатов оценивания с опытными данными. Например, выдвигается гипотеза, что: а) наблюдаемая с.в. подчиняется нормальному закону; б) математическое ожидание с.в. равно нулю; с) случайное событие обладает данной вероятностью и т.д.

Одной из важнейших задач математической статистики является разработка методов, позволяющих по результатам обследования части  интересующей нас совокупности объектов делать обоснованные выводы обо всей этой совокупности.

Результаты исследования статистических данных методами математической статистики используют для принятия решения в задачах планирования, управления, организации производства, контроля качества продукции и др.

Генеральная и выборочная совокупности

Пусть требуется изучить совокупность объектов относительно некоторого признака, например, рассматривая работу продавца (диспетчера, парикмахера), можно исследовать его загруженность, тип клиентов, скорость обслуживания, моменты поступления заявок и т.д. Каждый такой признак образует с.в., над которой производят наблюдения.  Генеральной совокупностью называется совокупность всех подлежащих изучению объектов или совокупность возможных результатов всех мыслимых наблюдений, производимых в неизменных условиях над одним объектом.

Зачастую проводить сплошное обследование, при котором изучаются все объекты, (например, перепись населения), трудно, экономически нецелесообразно или невозможно. В этих случаях наилучшим способом обследования является выборочное наблюдение:  выбирают для изучения случайным образом из генеральной совокупности часть объектов − выборку. Количество отобранных объектов (наблюдений) называется объёмом выборки.