Лекция 12.
Линейные разностные уравнения первого порядка.
Пусть множество No = {0,1,2,3,...} и пусть R — множество всех вещественных чисел, а N — множество всех натуральных чисел.
Линейным разностным уравнением первого порядка называется уравнение вида
yк+1 +акук = fк , (1) где ак —заданная функцияk∈No, причемак ≠0 для всех k∈No, fк — заданная функцияk∈No иyк — искомая функция
k ∈ N0.
Будем считать в дальнейшем, что все значения функций ак, fк, yк принадлежат множеству R.
Замечание. Условие ак≠ 0 для всехk∈No является существенным в определении линейного разностного уравнения первого порядка. Например, линейное разностное уравнение вида
yк+1 = fк не считается уравнением первого порядка, поскольку замена k + 1 =n дает уравнение
yn = fn-1 которое условно можно назвать разностным уравнением нулевого порядка.
Необходимость требования для уравнения (1) условия ак ≠ 0 для всехk ∈ Noв дальнейшем будет понятна и из других соображений.
Уравнение (1) иногда называют линейным рекуррентным уравнением первого порядка или линейным дискретным отображением первого порядка, а дискретный аргументk ∈ No называют дискретным временем. Так как функции аргументаk ∈ No называть последовательностями, то с этой точки зрения ак и fк в уравнении (1) являются заданными последовательностями, аyк - искомая последовательность
K ∈ N0.
Простейшие примеры уравнения (1) дают арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия и частичные суммы числового ряда. Если ак = — 1 и fк = d для всех к ∈ No, то уравнение (1) задает арифметическую прогрессию { yк } с разностью d.
Если же ак = — q и fк = 0 для всех к ∈ No, то уравнение (1) задает геометрическую прогрессию { yк} со знаменателем q. Наконец, пусть для числового ряда
∑∞ n
к-й частичной суммой является
yк = ∑ n Тогда yк удовлетворяет уравнению вида
yк+1 = yк +fк+1
Если fк = 0 для всех к ∈ No, то уравнение (1) называется линейным однородным разностным уравнением первого порядка. В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным разностным уравнением первого порядка.
Заданная последовательность φк , к ∈ No, называется решением уравнения (1), если она обращает уравнение (1) в числовое тождество для всех к ∈ No. График решения (1) представляет собой последовательность точек плоскости с координатами (k,φк) для всех к ∈ No.
Для линейного однородного разностного уравнения первого порядка
yк+1 +акук = 0, (2) где ак ≠0 для всех к ∈ No, формулу всех решений можно получить с помощью последовательных подстановок. Из уравнения (2) имеем, чтоy1 = -а0у0 , y2 = -а1у1 = а0 а1у0 , y3 = -а2у2= -а0 а1 а2у0 , …, yк = (−1) а0 а1 а2… ак-1у0.
Если воспользоваться обозначением произведения знаком П, то получаем формулу всех решений (2):
yк = y0 (−1) ∏ аj
Положим y0 = С, А k = (−1) ∏ аj .Заметим, что А k ≠ 0 для всехk ∈ N0 в силу определения уравнения (1). Тогда формула всех решений (2) примет вид
yк = С Ак, (3) где С — произвольная постоянная из множества R, k ∈ N0
Формула (3) называется формулой общего решения уравнения (2).
Для решения линейного неоднородного разностного уравнения первого порядка (1) применяется метод вариации постоянной.
Будем искать решение линейного неоднородного уравнения (1) в таком же виде (3), что и решение линейного однородного уравнения (2), но будем считать С не произвольной постоянной, а некоторой неизвестной функцией Cк , k ∈ N0 .Итак, решение (1) ищем в виде
ук = Ск Ак, k ∈ N0, (4) где функцию Ск найдем подстановкойук в уравнение (1). Подстановка в (1) дает равенство вида
Ск+1 Ак+1 + ак Ск Ак = fк или
Ск+1 Ак+1 - Ск Ак+1 = fк
Отсюда
к
Ск+1 = Ск +
Ак поскольку Ак+1 ≠ 0 для всех k ∈ N0 в силу определения уравнения (1).
Последовательными подстановками тогда получаем что
Ск=С0+∑ (
)
А где k ∈ N0, Со = D — произвольная постоянная из R.
Таким образом, подставляя Ск в формулу (4), находим формулу всех решений
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
