Линейные разностные уравнения первого порядка. Искомая последовательность

Лекция 12.

Линейные разностные уравнения первого порядка.

Пусть множество No = {0,1,2,3,...} и пусть R — множество всех вещественных чисел, а N — множество всех натуральных чисел.

Линейным разностным уравнением первого порядка называется уравнение вида

y_к+1 +а_ку_к = f_к ,                                           (1) где а_к —заданная функцияk∈No, причема_к ≠0 для всех k∈No, f_к — заданная функцияk∈No иy_к — искомая функция

k ∈ N₀.

Будем считать в дальнейшем, что все значения функций а_к, f_к, y_к принадлежат множеству R.

Замечание. Условие а_к≠         0 для всехk∈No является существенным в определении линейного разностного уравнения первого порядка. Например, линейное разностное уравнение вида

yк+1 = fк не считается уравнением первого порядка, поскольку замена k + 1 =n  дает уравнение

yn  = fn-1 которое условно можно назвать разностным уравнением нулевого порядка.

Необходимость требования для уравнения (1) условия а_к ≠ 0 для всехk ∈ Noв дальнейшем будет понятна и из других соображений.

Уравнение (1) иногда называют линейным рекуррентным уравнением первого порядка или линейным дискретным отображением первого порядка, а дискретный аргументk  ∈ No называют дискретным временем. Так как функции аргументаk  ∈ No называть последовательностями, то с этой точки зрения  а_к и f_к в уравнении (1) являются заданными последовательностями, аy_к -  искомая последовательность

K ∈ N₀.

Простейшие примеры уравнения (1) дают арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия и частичные суммы числового ряда. Если а_к = — 1 и f_к = d для всех к ∈ No, то уравнение (1) задает арифметическую прогрессию  { y_к } с разностью d. 

Если же а_к = — q и f_к = 0 для всех к ∈ No, то уравнение (1) задает геометрическую прогрессию { y_к} со знаменателем  q. Наконец, пусть для числового ряда

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           ∑^∞         _n

к-й частичной суммой является

y_к =        ∑            _n Тогда y_к  удовлетворяет уравнению вида

yк+1 = yк +fк+1

Если f_к = 0 для всех к ∈ No, то уравнение (1) называется линейным однородным разностным уравнением первого порядка. В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным разностным уравнением первого порядка.

Заданная последовательность φ_к , к ∈ No, называется решением уравнения (1), если она обращает уравнение (1) в числовое тождество для всех к ∈ No. График решения (1) представляет собой последовательность точек плоскости с координатами (k,φ_к) для всех к ∈  No.

Для линейного однородного разностного уравнения первого порядка

                                                                                                   y_к+1 +а_ку_к = 0,                            (2) где а_к ≠0 для всех к ∈ No, формулу всех решений можно получить с помощью последовательных подстановок. Из уравнения (2) имеем, чтоy₁ = -а₀у₀ , y₂ = -а₁у₁ = а₀ а1у0  , y3 = -а2у2= -а0 а1 а2у0   , …, yк = (−1) а0 а1 а2… ак-1у0.

Если воспользоваться обозначением произведения знаком П, то получаем формулу всех решений (2):

                                                              y_к = y₀ (−1) ∏         а_j

                          Положим y₀ = С, А _k = (−1) ∏                             а_j .Заметим, что А _k ≠ 0                                   для всехk ∈ N₀ в силу определения уравнения (1). Тогда формула всех решений (2) примет вид

y_к = С А_к,                                       (3) где С — произвольная постоянная из множества R, k ∈ N₀

Формула (3) называется формулой общего решения уравнения (2).

Для решения линейного неоднородного разностного уравнения первого порядка (1) применяется метод вариации постоянной.

Будем искать решение линейного неоднородного уравнения (1) в таком же виде (3), что и решение линейного однородного уравнения (2), но будем считать С не произвольной постоянной, а некоторой неизвестной функцией C_к , k ∈ N_{0 .}Итак, решение (1) ищем в виде

                                                                                        у_к = С_к  А_к, k ∈ N₀,                             (4) где функцию С_к найдем подстановкойу_к в уравнение (1). Подстановка в (1) дает равенство вида

                           С_к+1  А_к+1 + а_к С_к  А_{к =} f_к или

                          С_к+1  А_к+1 -  С_к  А_{к+1 =} f_к 

Отсюда                          

                                                                                               к            

                                                    С_к+1 =  С_к  +      

                                                                                        Ак                 поскольку А_к+1  ≠ 0 для всех k ∈ N₀  в силу определения уравнения (1).

Последовательными подстановками тогда получаем что 

                         С_к=С₀+∑       ()

                                                       А                        где k ∈ N₀, Со = D — произвольная постоянная из R.

Таким образом, подставляя С_к в формулу (4), находим формулу всех решений