Понятие колебания и сигнала. Классификация сигналов.Свойства преобразования Фурье, страница 7

С другой стороны такой радиосигнал является периодическим, поэтому его спектр должен быть дискретным с бесконечной шириной спектра. Чтобы проверить это, разложим выражение радиосигнала с гармонической ЧМ, приняв для упрощения обе начальные фазы равными нулю.

После разложения этого колебания в ряд Фурье получим:

Коэффициенты разложения в ряд Фурье выражены через функции Бесселя к-го порядка от аргумента m.

Из последнего выражения следует, что в состав радиосигнала с гармонической ЧМ входят:

- колебание с несущей частотой ω_н и амплитудой А₀J₀(m),

- бесконечный набор нижних боковых колебаний с амплитудами А₀J_k(m) и частотами ω_н-kΩ,

- бесконечный набор верхних боковых колебаний с амплитудами А₀J_k(m) и частотами ω_н+kΩ.

Следовательно, спектр радиосигнала с гармонической ЧМ является дискретным, а ширина спектра в общем случае бесконечна.

Из математики известно, что функции Бесселя J_к(m) являются знакопеременными и обладают таким свойством, что их значения становятся много меньше 1, при k>m+1, следовательно, в спектре радиосигнала с гармонической ЧМ, ввиду малости, можно пренебречь боковыми составляющими с номером k>m+1. Значит, число боковых составляющих справа и слева от несущей будет равно m+1, где m – индекс угловой модуляции, .

Введем понятие практической или действительной ширины спектра ЧМК.

.

Оценим среднюю мощность радиосигнала с гармонической частотой модуляции. Для периодическо колебания:

 =1 по свойству функции Бесселя.

Выясним, как распределена средняя мощность между составляющими. Можно исследовать два крайних случая: быстрой и медленной ЧМ.

1) Быстрая частотная модуляция, m<<1, Ω>>ω_д.

Эффективность модуляции много меньше 1.

При быстрой модуляции распределение мощности энергетически невыгодно. На практике не применяется.

2) Медленная угловая модуляция, m>>1, Ω<<ω_д.

Если учесть, что функция J₀(m), определяющая амплитуду несущего колебания, является знакопеременной, то всегда можно подобрать значение m, где J₀(m) обращается в ноль, и тогда в спектре будут присутствовать только боковые колебания.

 - энергетически модуляция выгодна.

Фазовая модуляция.

Если провести анализ спектра радиосигнала с фазовой гармонической модуляцией, то получится такое же разложение, как и при ЧМ. Амплитудные спектры при ЧМК и ФМК одинаковы, отличаются фазовые спектры, следовательно, справедливы все рассуждения о числе учитываемых боковых колебаний и ширине спектра.

Различие спектра ЧМК и ФМК проявляется при изменении Ω. При медленной угловой модуляции (m>>1):

ЧМК Неизменным параметром является девиация частоты: ωд=const (не зависит от Ω)  - число нижних (верхних) боковых составляющих в спектре = const

ФМК Неизменным параметром является девиация фазы: φд=m=const (не зависит от Ω)  - изменяется при изменении частоты  - постоянно

§19. Применение преобразование Гильберта для однозначного определения огибающей, частоты и фазы радиосигнала.

В общем виде любой радиосигнал представляется формулой:

   (1)

Выражение (1) не дает однозначного определения понятий:

А(t) – огибающей радиосигнала,

Ψ(t) – полной фазе радиосигнала.

Можно подобрать бесконечно много пар параметров А(t) и Ψ(t), удовлетворяющих уравнению (1). Для однозначного определения этих понятий условились применять преобразование Гильберта. Преобразование Гильберта для радиосигнала а(t), будем обозначать.

  (2) – прямое преобразование Гильберта;

  (3) – обратное преобразование Гильберта;

  (4) –огибающая радиосигнала;

  (5) – полная фаза;

  (6);

 - средняя частота радиосигнала.

Геометрическое представление преобразования Гильберта.

Примеры:

1) Преобразование Гильберта гармонического сигнала:

2) Преобразование Гильберта от суммы гармонических колебаний:

Преобразование Гильберта от суммы гармонических колебаний представляет собой сумму гармонических колебаний с теми же частотами и амплитудами. Фазы этих колебаний отличаются на –π/2. Амплитудный спектр преобразования Гильберта совпадает с амплитудным спектром исходного радиосигнала, а по фазе спектр отличается сдвигом на -π/2.