Двухэлектронные квантовые системы, атом гелия и гелиеподобные ионы

ЛЕКЦИЯ 24

ДВУХЭЛЕКТРОННЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ. АТОМ ГЕЛИЯ И ГЕЛИЕПОДОБНЫЕ ИОНЫ

В таблице Менделеева атом гелия следует сразу же за атомом водорода. Его электронная оболочка состоит из двух электронов, и ему присущи все принципиальные особенности, отличающие поведение квантовой системы от поведения одного электрона. На примере атома гелия стало ясно, что простое объединение классической механики с квантовыми постулатами, позволившее Бору объяснить свойства атома водорода, становится здесь совершенно непригодным. Это послужило одним из мощных стимулов к поиску принципиально новых подходов и, в конечном итоге, к созданию квантовой механики.

Решая задачу об атоме гелия, будем использовать обычные приближения: 1) ядро атома будет считать неподвижным, т.е. пренебрежем поправками порядка **, где *-- масса электрона, * -- масса ядра; 2) пренебрежем релятивистскими поправками *(**), обусловленными спин-орбитальными и спин-спиновыми взаимодействиями. В этом приближении гамильтониан атома гелия, а также гелиеподобного иона, имеет вид:

(24.1)

Для атома гелия ***, для гелиеподобных ионов ***.

По-прежнему нас будут интересовать стационарные состояния атома, которые описываются решениями уравнения:

(24.2)

Таким образом, необходимо отыскивать собственные функции и собственные значения оператора *. Поскольку искомые функции определены в шестимерном пространстве, точное решение уравнения (24.2) получить невозможно. Простейший путь к решению задачи основан на теории возмущений.

Представим гамильтониан (24.2) в виде:

(24.3)

где

(24.4)

(24.5)

Здесь далеко не очевидно, что оператор возмущения *, описывающий взаимодействие электронов, обязательно даст малую поправку к "нулевому" решению. Поэтому о степени точности получаемых решений судят по конечному результату, сравнивая его с опытными данными.

В соответствии с разбиением гамильтониана (24.3) представим решение в виде:

(24.6)

Нулевое приближение *** удовлетворяет уравнению с разделяющимися переменными

(24.7)

и его решениями являются

(24.8)

где *** и ** представляют собой решение одноэлектронной кулоновской задачи.

Будем считать, что одноэлектронные состояния обладают определенным моментом и определенной проекцией момента, т.е. заданы числа ** для каждого из электронов. При этом

(24.9)

(24.10)

Конкретный вид функции ** и ** был установлен в первой части курса. Здесь он нам не понадобится.

Тождественность электронов, которая формально проявляется в перестановочной симметрии гамильнонианов * и **, приводит к тому, что, наряду с решением (24.8) уравнение (22.7) при том же значении *** имеет решение

(24.11)

отличающееся от (24.8) перестановкой координат электронов. В этом состоит так называемое обменное вырождение энергетического уровня **. Оно должно учитываться при нахождении поправок по теории возмущений.

Правильная функция нулевого приближения должна представлять собой суперпозицию решений (24.8) и (24.11). Однако в данном случае нам не придется отыскивать эту суперпозицию, поскольку ее вид ужу задан принципом неразличимости тождественных частиц, и он нам известен.

Мы видели, что для двухэлектронной системы координатный множитель полной волновой функции

***

должен быть симметричным или антисимметричным в зависимости от суммарного спина электронов: он симметричен при суммарном спине, равном нулю, и антисимметричен при суммарном спине, равном единице. Отсюда следует, что для уровня *** правильными функциями нулевого приближения будут:

(24.12)

(24.13)

Поправки первого приближения к уровню ** можно найти, усреднив гамильтониан возмущения *** по состояниям ** и **. После несложных преобразований получим:

(24.14)

где

(24.15

(24.16

Из (24.14) видно, что под действием возмущения уровень ** сдвигается вверх на величину *, расщепляясь при этом на два подуровня, отстоящих друг от друга на величину ... (Заметим, что *, так же как и *, является вещественной величиной. В отличие от *, она может быть как положительной, так и отрицательной.)

Сдвигу энергетических уровней можно дать простое классическое истолкование, исходя из вида интегрального выражения, определяющего *. Это выражение можно рассматривать как энергию кулоновского взаимодействия двух распределенных в пространстве зарядов, плотности которых равны, соответственно, *** и ***. Такое толкование приобретает строгий смысл, если величины ** и ** понимать как плотности вероятности для каждого из электронов, а интегрирование по * и * -- как квантовомеханическое усреднение.

В отличие от *, в величине * вместо плотностей вероятности ** и ** даны величины *** и ***. Эти величины, в общем случае, комплексны. Вещественным становится лишь результат интегрирования.

Таким образом, величина * является сугубо квантовой и своим происхождением обязана квантовомеханическому принципу неразличимости тождественных частиц с полуцелым спином.