Двухэлектронные квантовые системы, атом гелия и гелиеподобные ионы, страница 13

(28.23)

Оно означает, что переход квантовой системы с энергетического уровня ** на более высокий уровень ** сопровождается передачей ей кванта энергии от внешнего поля.

Полученное выражение для вероятности перехода очень широко используется, особенно в квантовой кинетике. Часто его называют "золотым правилом" (Golden rule) квантовой кинетики.

Ввиду значительности этой формулы, повторим ее вывод еще раз, отправляясь не от соотношения (28.14,а), полученного в предположении, что периодическое возмущение "включается" в момент **, а от соотношение (28.14,б), когда предполагается медленное включение возмущения в далеком прошлом, при ***. В связи с этим постоянный оператор * в (28.13) заменим на ** и в конечном результате устремим * к нулю.

Для переходов в непрерывный спектр формула (28.14,б) приобретает вид:

(28.24)

Вторым, "нерезонансным" слагаемым мы здесь, как и раньше, пренебрегаем.

(28.25)

Чтобы получить вероятность перехода в единицу времени, необходимо продифференцировать полученную величину по * и перейти к пределу **. Это дает

(28.26)

В правой части полученного соотношения содержится одно из представлений *-функции, а именно

(28.27)

Из этого следует, что

(28.28)

Таким образом, мы другим путем пришли к той же формуле, выражающей "золотое правило".

ЛЕКЦИЯ 29

КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В РЕЗОНАНСНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Рассматривая квантовые переходы под действием гармонического поля, мы видели, что формулы теории возмущений теряют смысл, как только частота возмущения * оказывается слишком близкой к частоте некоторого дискретного перехода ***. В пределе строгого резонанса (**) поправка к волновой функции для перехода *** стремится к бесконечности, вместо того чтобы оставаться малой, как этого требует идеология теории возмущений. Поэтому для переходов между состояниями, связанными резонансным условием (***), существует совершенно иной  подход, известный как резонансное приближение.

Итак, рассмотрим квантовую систему с дискретным энергетическим спектром ** и волновыми функциями ***. Под действием гармонического возмущения с частотой * состояние этой системы будет представлять собой суперпозицию

(29.1)

Для коэффициентов ** из уравнения Шредингера следует система уравнений (см. (28.6))

(29.2)

где

***

Эта система уравнений является точной, строго эквивалентной исходному уравнению Шредингера.

Предположим, что для одной из пар состояний (*,*) выполнено условие резонанса:

(29.3)

где ** -- расстройка резонанса (***).

Из результатов расчета по теории возмущений следует, что в области резонанса растет "вес" состояний, связанных резонансным условием, т.е. коэффициенты ** и ** становятся большими по сравнению с коэффициентами нерезонансных состояний. Поэтому в качестве исходного приближения в суперпозиции (29.1) оставим эти два слагаемых и пренебрежем всеми остальными. При этом система уравнений (29.2) превратится в систему двух уравнений, связывающих ** и **:

(29.4)

Здесь предполагается, что ***. Обычно это имеет место. Перепишем полученную систему, используя резонансное условие (29.3).

(29.5)

Мы видим, что зависящие от времени коэффициенты уравнений выражаются двумя слагаемыми, одно из которых меняется медленно (***), а другое  быстро (***).

Мелкими быстрыми осцилляциями следует пренебречь по сравнению с медленными, так как их учет дал бы поправки того же порядка, что и учет нерезонансных состояний, которые нами отброшены. Другими словами, это было бы превышением точности метода.

Отбрасывание быстрых осцилляций приводит к уравнениям:

(29.6)

Эти уравнения могут быть решены точно, без предположения о малости возмущения. Для этого сделаем подстановку

***, которая приводит к уравнениям с постоянными коэффициентами:

(29.7)

Исключая из этих уравнений **, приходим к уравнениям второго порядка для ***: