Двухэлектронные квантовые системы, атом гелия и гелиеподобные ионы, страница 14

(29.8)

Подставляя сюда решение в виде **, находим характеристическое уравнение

(29.9)

корни которого равны

(29.10)

Таким образом, получаем два линейно независимых решения уравнения (29.8)

(29.11)

и соответствующие им решения системы (29.6):

(29.12)

(29.13)

Суперпозиция решений (29.12) и (29.13) дает общее решение

(29.14)

в котром коэффициенты ** и ** определяются начальными условиями.

Пусть в начальный момент ** система находится в состоянии **. Этому соответствует ***, ***. Подставляя эти условия в (29.14), получим уравнения для  неопределенных  констант ** и **

(29.15)

Отсюда находим

(29.16)

Подстановка этих значений в функции (29.14) дает:

(29.17)

Нетрудно убедиться, что найденные функции удовлетворяют условию нормировки

(29.18)

Обсудим полученный результат.

Резонансное приближение привело к тому, что из бесконечного набора стационарных состояний *** были (неясно) два состояния *** и ***, на которые внешнее периодическое возмущение с частотой * действует наиболее сильно благодаря условию резонанса (***). Заданное в некоторый начальный момент стационарное состояние *** возмущение превращает в суперпозицию

***

Состояние ** уже не стационарно. Все физические величины в этом состоянии становятся осциллирующими с частотой перехода ***. Но помимо этой осцилляции, которую мы назовем "быстрой", возникает дополнительная медленная осцилляция с частотой ***. С этой частотой, определяемой силой возмущения ** и величиной расстройки резонанса *, колеблются коэффициенты суперпозиции ** и **. Квадраты модулей этих коэффициентов изменяются с удвоенной частотой. Так, согласно (29.17), мы имеем

(29.19)

Амплитуда этих осцилляций зависит от соотношения величин * и *** и становится тем больше, чем ближе мы к строгому резонансу. При строгом резонансе (**) получаем

(29.20)

Отсюда мы видим, что состояние, которое в начальный момент обладало нулевой амплитудой, к моменту времени *** имеет амплитуду, равную единице. Состояние ** полностью трансформировалось в состояние ***. Этот периодический процесс трансформации из одного состояния в другое, возникающий при строгом резонансе, играет важную роль в физике лазеров. Процесс такого типа впервые наблюдал Изидор Раби, в связи с чем величина *** получила название частоты Раби, а величина *** называется обобщенной частотой Раби. Резонансное приближение называют также двухуровневым приближением.

ЛЕКЦИЯ 30

КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Говоря о переходах в квантовых системах под действием зависящего от времени возмущения, мы пока не конкретизировали физическую природу возмущения, описывая его некоторыми операторами ** или ***, явный вид которых никак не использовался. Сейчас мы перейдем к рассмотрению вполне конкретного и наиболее важного для нас случая возмущения атомов и молекул внешним электромагнитным полем.

1. Гамильтониан возмущения

Будем по-прежнему пренебрегать движением ядер и рассматривать их как неподвижные источники кулоновских полей, действующих на электроны. Помимо электростатических полей, определяющих электрон-ядерные и электрон-электронные взаимодействия, учтем действие на электроны со стороны внешнего электромагнитного поля, которое будет предполагаться достаточно слабым и рассматриваться как возмущение.

В квантовой механике наиболее удобно описывать электромагнитное поле с помощью потенциалов -- векторного потенциала *** и скалярного потенциала ***, связанных с напряженностями электрического и магнитного полей соотношениями

(30.1)

Это удобно потому, что для заряженной частицы (электрона) в электромагнитном поле классическая функция Гамильтона наиболее просто выражается именно через потенциалы и имеет вид:

(30.2)