Двухэлектронные квантовые системы, атом гелия и гелиеподобные ионы, страница 15

Обобщим формулу (30.2) на случай системы * электронов и учтем при этом, наряду с внешним электромагнитным полем, внутренние электрон-ядерные и электрон-электронные кулоновские поля. Тогда для классической функции Гамильтона системы получим выражение:

(30.3)

где последние два слагаемых описывают электростатические электрон-электронное и электрон-ядерное взаимодействия (см. формулы (19.4), 19.5)).

От классической функции Гамильтона по обычному правилу переходим к оператору Гамильтона:

(30.4)

Поскольку влияние внешнего электромагнитного поля на квантовую систему будет рассматриваться как малое возмущение, удобно разбить гамильтониан (30.4) на два слагаемых

(30.5)

где

(30.6)

(30.7)

Из перестановочных соотношений между операторами координаты и импульса

***

следует формула

(30.8)

и если векторный потенциал подчинить условию кулоновской калибровки

***

то операторы ** и ** становятся коммутирующими и *** приобретает вид

(30.9)

Таков общий вид оператора взаимодействия электронных оболочек атомов и молекул с произвольным электромагнитным полем. Его можно существенно упростить, если перейти к так называемому дипольному приближению.

2. Дипольное приближение

Пусть электромагнитное поле представляет собой плоскую гармоническую волну, для которой потенциалы * и * зависят от времени и координат как ***, * -- длина волны). Такой же зависимостью от * и *, естественно, обладают и напряженности * и *.

Предположим, что длина электромагнитной волны * очень велика по сравнению с линейным размером атома или молекулы (***). Поэтому на размере порядка * электрическое поле можно считать однородным (**), пренебрегая при этом величинами порядка **. Отбрасывание величин порядка ** равносильно пренебрежению эффектами, связанными с конечной скоростью распространения электромагнитной волны, т.е. эффектами запаздывания на размерах порядка *. К такому приближению мы можем прийти, устремляя формально скорость света ** к бесконечности. При этом в гамильтониане возмущения (27.9) сохранится лишь последнее слагаемое, которое в силу пространственно однородности электрического поля может быть представлено в виде:

***

где *** есть оператор дипольного момента квантовой системы. Такой подход носит название дипольного приближения.

Итак, возмущение квантовой системы электромагнитным полем мы будем описывать оператором

(30.10)

Пренебрегая при этом величинами порядка **, мы не учитываем малые релятивистские поправки и учет этих поправок явился бы неоправданным превышением точности, поскольку поправки такого же порядка малости были отброшены при рассмотрении стационарных состояний квантовой системы.

3. Поляризуемость квантовой системы в дипольном приближении

Пусть до включения электромагнитного поля (при ***) квантовая система находилась в нижнем стационарном состоянии ***. Под действием возмущения вида (30.10), которое мы будем считать монохроматическим

(30.11)

квантовая система к моменту времени * перейдет в состояние суперпозиции

(30.12)

коэффициенты которой определяются формулами (28.14,б), где ***. Подставляя выражения для этих коэффициентов в формулу (30.12), получим:

(30.13)

Найдем в первом приближении среднее дипольного момента квантовой системы в состоянии ***, т.е. вычислим величину

(30.14)

сохраняя лишь первый порядок малости по возмущению и предполагая, что постоянный дипольный момент в основном состоянии равен нулю

*** .

Коэффициент пропорциональности между дипольным моментом и электрической напряженностью даст нам искомое значение поляризуемости. Подставляя (30.13) в (30.14), получаем

(30.15)

Проектируя найденное векторное выражение на ортогональные оси координат, можно привести его к виду:

(30.16)

где

(30.17)

Полученное выражение представляет собой тензор поляризуемости квантовой системы. Оно является основой квантовой теории дисперсии разряженных газообразных сред, когда атомы или молекулы, испытывая лишь редкие соударения, в основном сохраняют свою индивидуальность.