Определение функции нескольких переменных. Предел функции 2-х переменных

13.Определение функции нескольких переменных.

Переменная u называется f(x,y,z,..,t), если для любой совокупности значений (x,y,z,..,t) ставится в соответствие вполне определенное значение переменной u.

Множество совокупностей значение переменной называют областью определения ф-ции.

G - совокупность (x,y,z,..,t) - область определения

Переменная z называется функцией 2х переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y) Î G ставится в соответствие определенное значение переменной z.

14.Предел функции 2-х переменных.

Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р₀(х₀,у₀)- рассматриваемая точка.

Опр. Окрестностью точки р₀ называется круг с центром в точке р₀ и радиусом r. r = Ö(х-х₀)²+(у-у₀)^2Ø

Число А называется пределом функции |в точке р₀, если для любого

Lim f(x,y)

pàp₀

сколь угодно малого числа e можно указать такое число r (e)>0, что при всех значениях х и у, для которых расстояние от т. р до р0 меньше r выполняется неравенство: ½f(x,y) - А½<e, т.е. для всех точек р, попадающих в окрестность точки р₀, с радиусом r, значение функции отличается от А меньше чем на e по абсолютной величине. А это значит, что когда точка р  приблизится к точке р₀ по любому пути, значение функции неограниченно приближается к числу А.

15. Непрерывность функции.

Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р₀(х₀,у₀)- рассматриваемая точка.

Опр. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в т. р₀, если выполняются 3 условия:

1)функция определена в этой точке. f(р₀) = f(x,y);

2)ф-я имеет предел в этой точке.

Lim f(р) = b

pàp₀

3)Предел равен значению функции в этой точке:  b = f(x₀,y₀);

Limf(x,y) = f(x₀,y₀);

pàp₀

Если хотя бы 1 из условий непрерывности нарушается, то точка р называется точкой разрыва. Для функций 2х переменных могут существовать отдельные точки разрыва и целые линии разрыва.

Понятие предела и непрерывности для функций большего числа переменных определяется аналогично.

Для функции 3х переменных могут существовать точки разрыва, линии и поверхности разрыва.

16. Частные производные.

Рассмотрим функцию z=f(x,y), р(х,у)- рассматриваемая точка.

Дадим аргументу х приращение Dх;  х+Dх, получим точку р₁(х+Dх,у), вычислим разность значений функции в точке р:

D_хz = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х.

Опр. Частной производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю.

¶z = Lim      D_xz

¶x    Dx®0  Dx   

à¶z = Limf(x+Dx,y) - f(x,y)

¶xDx®0            Dx

Аналогично определяем частное производной по переменной у.

Если частное приращение D_xu функции u=f(x,y,z) можно разбить на сумму двух членов:

D_xu=ADx+a ; где А не зависит от Dx, а а имеет высший порядок относительно Dx, то первый член

АDx называется  частным дифференциалом функции f(x,y,z) по аргументу х и обозначается  d_xf(x,y,z) или d _xu

d _xu= ADx

Коэффициент А равен частной производной u^’_x

№17 Дифференцирование слож. Функ нескольких переменных. Инвариантность формы первого дифференциала.  Рассмотрим u= f(x1,…,xn) где xi = gi(t1,…,tm) . Тогда мы имеем слож. Функ. u=f(g1(t1,…,tm),…,gn(t1,…,tm)). Т. Пусть функ. xi=g(t1,…tn) дифф-ма в точке (t10,…,tn0) где xi0=gi(t10,…,tmo). Тогда слож. Функ. u=f(g1(t1,…,tm),…,gn(t1,…,tm))  дифф-ма в (t10,…,tm0) причем бu/бt_j=∑ (бu/бx_i )* (бu/бt_i ) . Замечание. Если x1=x1(t), x2=x2(t),…., xn=xn(t) то u=f(x1,…,xn) будет функ. переменной t , её производная по t назыв. полнойпроизводной и равна бu/бt= (бu/бx₁)* (бx/бt)+…+ (бu/бx_n)* (бx_n/бt). Инвариантность. u=f(x1,….,xn) то du=(бu/бx₁)*dx1+….+(бu/бx_n)*dx_n  когда x1,…,xn – независ. Переменные . Тогда u-функ. переменных t1,…,tm => du=(бu/бt₁)*dt1+…+(бu/бt_m)*dt_m .

18. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть z=f(x,y) уравнение поверхности в пространстве. (явное задание)

z=f(x₀,y₀,z₀) точка на поверхности.

z= f(x₀,y₀)

Рассмотрим уравнение z=z₀+a₁(x-x₀)+a₂(y-y₀) плоскость проходит через (x₀,y₀,z₀).

Опр: Плоскость z’=z₀+a₁(x-x₀)+a₂(y-y₀) называется касательной плоскостью поверхности.

z=f(x,y) в точке (x₀,y₀) если f(x,y) –z=o(ρ)

f(x,y)-( z₀+a₁(x-x₀)+a₂(y-y₀)) =o(ρ)ó f(x,y)=f(x₀,y₀) +a₁(x-x₀)+a₂(y-y₀)+o(ρ)ó

f(x,y) дифференцируема в точке (x₀,y₀) , приём a₁= (x₀,y₀); a₂=(x₀,y₀).

т.е. уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке (x₀,y₀)

z=z₀+(x₀,y₀)+  (x₀,y₀) (y-y₀)

Нормаль к поверхности в точке (x₀,y₀) перпендикулярна к касательной плоскости в точке (x₀,y₀) :

F(x,y,z)=0 задаёт неявно z=f(x,y) – поверхность.

z=z₀+ (x₀,y₀)(x-x₀)+(x₀,y₀)(y-y₀)

=, =

(ч₀бн₀)(ч-ч₀)+ (ч₀бн₀)(н-н₀)+ (ч₀бн₀)(я-я₀)=0

22. Экстремумы функций многих переменных. Необходимое и достаточное условие.

Пусть xRⁿ, f:x®R, x⁰ – предельная точка x.

1.f(x) достигает минимума в точке x⁰, если ε>0: xK⁰_ε(x⁰)=> f(x)>f(x⁰)

2.f(x) достигает максимума в точке x⁰, если ε>0: xK⁰_ε(x⁰)=> f(x)<f(x⁰)

3.f(x) достигает экстремума в точке x⁰, если x⁰-точка максимума или минимума.

4.f(x) достигает наибольшее/наименьшее значение, если для X=> f(x)<f(x⁰)/ f(x)>f(x⁰)

Опр: Точка x⁰ называется внутренней точкой X, если она входит в X с некоторой окрестностью. Точка x⁰ называется граничной точкой, если она не является внутренней.