Пример: x=[0,1]
(0,1) – внутренние точки
0,1 – граничные точки.
Теорема:
x0 – внутренняя точка X.
Если K0ℇ(x0) => f(x)>f(x0) =>( f(x)<f(x0)); и существует f’(x0), то f’(x0)=[0,0…0]
Доказательство:
Рассмотрим функцию f1(x1)=f(x1,x20…xn0)
Из условия теоремы f1(x1)=f(x1,x20…xn0)> f(x10,x20…xn0)= f1(x10) =>
f1(x1)>f1(x10) K0ℇ(x0), т.к. 0<|x1-x10|< ℇ: и для f1(x1) выполняются все условия теоремы Ферма.
// Теорема Ферма: x0 – предельная точка слева и справа, K0ℇ(x0): f(x)>f(x0), f’(x0)=0
=> =0
Аналогично все остальные производные:
т.е. f’(x0)=[0,0…0]
Следствие:
Если x0 – внутренняя точка (предельная точка) и является точкой максимума или минимума и существует производная в этой точке, то она равна нулю – это необходимое условие экстремума.
Опр: x0€X – критическая точка, если: существует f’(x0), то f’(x0)=0, т.е. необходимые условия экстремума функции:
1) Она граничная и предельная.
2)Она внутренняя и f’(x0)=0.
3)Она внутренняя и не существует f’(x0).
По следствию из теоремы, функция может достигать экстремума или наибольшего/наименьшего значения только в критических точках.
x0 – внутренняя точка, f’(x0)=0 – стационарная точка.
19.Производная по направлению.Если в n-мерном пространстве задан единичный вектор , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению: . В частности, для функции трех переменных , - направляющие косинусы вектора .
Градиент. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора и вектора с координатами , который называется градиентом функции и обозначается . Поскольку , где - угол между и , то вектор указывает направление скорейшего возрастания функции , а его модуль равен производной по этому направлению.
23.Достаточное условие экстремума для функции двух переменных.
Теорема: Если , существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке ,то обозначив , имеем
1)
2)
3) -экстремума нет
Доказательство:
, найдем с.ч. матрицы
,,
,.
1) ,A>0(C>0)
2) ,A<0(C<0)
3)
24.Неявные функции: теорема о существовании и дифференцируемости
Опр. Функция z=f(x,y) наз. Заданной неявно, если она определена равенством, неразрешенным относительно z .
F(x,y,z)=0
x+y+z=ez - это равенство задаем некоторую функцию z=f(x,y), которую нельзя выразить в полном виде.
x2+y2+z2=0 - не задает никакой функции.
Теорема: Если ф-я F(x,y,z) - непрерывна в т. р0(x0,y0,z0) и ее производная по z Fz(x,y,z)¹0, то равенство F(x,y,z)=0 однозначно определяет в неявном виде функцию z=f(x,y), при этом эта функция дифференцируема и ее производная находится по формулам:
¶z/¶x=-F¢x(x,y,z)/F¢z(x,y,z)
¶z/¶y=-F¢z (x,y,z)/F¢y(x,y,z)
Док-во: Найдем полный дифференциал функции
dF(x,y,z)=¶F/¶x*dx+¶F/¶y*dy+¶F/¶x*dz
F(x0,y0,z0)=0èdF=0è
¶F/¶x*dx+¶F/¶y*dy+¶F/¶x*dz=0
dz=-(¶F/¶x)/(¶F/¶z)*dx-(¶F/¶y)/(¶F/¶z)*dy (*)
С другой стороны:
z=f(x,y), dz=¶z/¶x*dx+¶z/¶y*dy (**)
Сравнивая (*) и(**) è
¶z/¶x=-F¢x(x,y,z)/F¢z(x,y,z)
¶я.¶н=-А¢я (чбнбя).А¢н(чбнбя)
20.Частные производные высшего порядка.
Пусть задана функция 2х переменных z=f(x,y),найдем ее частные производные.
¶z/¶x=f¢x(x,y)
¶z/¶y=f¢y(x,y)
В общем случае, эти производные также являются функциями 2х и можно искать их частные производные. При этом получаем часные производные 2-ого и более порядков.Производные, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называются смешанными.
Теорема: О независимости часных производных от порядка (последовательности) дифференцирования.
Две смешанные частные роизводные одного порядка, отличающиеся только порядком диф-я равны.
¶2z/¶x¶y=¶2z/¶y¶x - в следствии этого, при обозначении смешанных частных производных последовательность диф-я не указывается.
¶nz/¶xn-2¶y2
28. Ур-ия с разделяющимися переменными.
-ур-ие I-ого порядка, которое может быть представлено в виде:
, где М и N – известные ф-ии от х и у наз-ся уравнением с разделяющимися переменными.
Решение этого уравнения заключается в разделении переменных. Разделим ур-ие на , вынесем . Проинтегрируем обе части. .т.к. у – есть ф-я от x, то -общий интеграл данного уравнения. т.к. делим на =0, если , то x=a =>, т.е.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.