№9 Вторая Теорема Гульдена. Объем тела полученного при вращении крив. Трапеции вокруг оси Ох= произведению длины окр. Описываемой центорм тяжести вокруг оси Ох на S крив. Трапеции. Найти коор. Центра тяжести дуги астроиды расположенной в 1 квадранте . x=acos2 t y-asin2t ; l=6a/4=3a/2 ; ξ=My/l h=Mx/l ; My= S(от 0 до п/2) y(t) *((x’)^2+(y’)^2)^1/2 dt = S(от 0 до п/2) acos3t *3acost*sint dt=[cost=u, -sintdt=du, t=0 u=1 t=п/2 u=0]= S(от 1 до 0) 3a2 *u4*(-du)=-3a2**u^5/5=3a^2/5 ; ξ=2a/5 ;h=2a/5
№10 Несобственный интеграл 1рода. Критерий Коши и достаточные условия сходимости несобст. Интегралов первого рода. Опр. Пусть а(ч) определена на [a,+беск.] интегрируема по Риману на любом [a,c] a<c<+беск. . Если сущ. При с->lim S(от а до с) f(x) dx = S (от а до + беск. ) f(x) dx несобств. 1 рода. Опр. Пусть f(x) определена на (-беск. ;а] интегрируема на любом [b;a] , –беск<b<a . Тогда если сущ. При c-> +беск. lim S(от в до а) f(x) dx = S( от –беск. до а ) f(x) dx В случае конечного предела интеграл называется сходящимся. В противном случае расходящимся. Опр. S( от –беск. до +беск. ) f(x) dx= при в->-беск. Lim S( от в. до 0 ) f(x) dx + при в->-беск. Lim S( от 0 до с ) f(x) dx. Т( Критерий Коши) Для того чтобы S( от а до +беск. ) f(x) dx ó при любом Е>0 сущ. В(Е)>0 т.ч. любык с1,с2>B => | S( от c1 до c2) f(x) dx| <E. Рассм. Вопрос о сходимости несобств. Интеграла 1-го рода от + функ. Пусть f(x)>0 на [a,+беск.) . Тогда F(c) = S( от a до c ) f(x) dх явл. Неубывающей. Действительно возьмем a<c1<c2 и F(c2)-F(c1)= S( от a до c2) f(x) dx- S( от a до c1 ) f(x) dx= S( от a до с1 ) + S( от с1 до с2 )- S( от a до с1 )= S( от с1 до с2 ) f(x) dx >=0 Для сходимости S( от a до +беск. ) f(x) dх необх. И дост. Чтобы S( от a до c ) f(x) dх<=
№11 Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Несобственный интегралы 2 рода и их основные свойства. Т Если S( от a до +беск. ) |f(x) |dх сходится то S( от a до +беск. ) f(x) dх сходится. В этом случае он называется абсолютно сходящимся. Если S( от a до +беск. ) |f(x) |dх расходится , а S( от a до +беск. ) f(x) dх сходится то он назыв. Условно сх-ся . Док-во: Так как S( от a до +беск. ) |f(x) |dх сходится по крит. Коши при любой Е>0 существует А >0 т.ч. любые с1<c2 принадлежат (а,+беск.) => S( от с1 до с2 )| f(x) |dх <=A . т.к. |S( от с1 до с2 ) f(x)dх| <= S( от с1 до с2 )| f(x) |dх => по крит. Коши S( от с1 до с2 ) f(x)dх сходится. Опр. Пусть f(x) определена на [a,b) и не ограничена на нем и пусть она интегрируемак на любом [a,c] где a<c<b . Если существует при c->b lim S( от a до b ) f(x) dх= S( от a до b ) f(x) dх и назыв. Несобственным интегралом 2 рода . В случае конечного предела интеграл назыв. Сх-ся. Точка b назыв. Особой. Опр. f(x) определена на (a,b] и не ограничена на нем интегрируема на любом [c,b] a<c<b . Если существует при c->a+ lim S( от c до b ) f(x) dх = S( от a до b ) f(x) dх и назыв. Несобст. Интегралом 2 рода, точка а особая. Свойства: 1) Критерий Коши. 2) Теоремы сравнения 1 и 2 имеют место . 3) Для сходимости S( от a до b ) f(x) dх в случае f(x)>0 дост. Ограниченности S( от a до b ) f(x) dх сверху.
№12 Замена переменной и интегрирование по частям в несобственном интеграле. Т (замена) Пусть х=g(t) имеет непр. Производную на (а,в) , g’(t)<>0 Функ. y=f(x) интегрируема на (g(a),g(в)) . Тогда имеет место формула: S( от g(a) до g(в) ) f(x) dх= S( от a до в ) f(g(t))*g’(t)dt как для собств. Так и для несобств. Интегралов. Т. (по частям) Пусть u(x) v(x) имеют непр. Произв. На (a,+беск.) сущ. Один из интегралов S( от a до +беск. ) u(x)*v’(x)dx или S( от a до +беск. ) u’(x)*v(x)dx и сущ. При х->+беск. Lim u(x)*v(x) | (от ф до +беск.) - S( от a до +беск. ) u’(x)*v(x)dx. Док-во: Возьмем Е>0 b принадл. R и S( от a+Е до b. ) udv= u*v|( от a+Е до b.)- S( от a+Е до b. ) v du . Устремляя Е->0 b->0 получим требуемое.
56 Криволинейный интеграл 1-ого рода: определение, свойства, физический и геометрический смысл, теорема о существовании.
Пусть γ{x=x(t),y=y(t),z=z(t) tÎ[t1,t2] γ –
гладкая кривая
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.