Определение функции нескольких переменных. Предел функции 2-х переменных, страница 3

x=a–тоже решение, аналогично у=b =>N₂(b)=0т.е. y=b – тоже решение т.е. х=а и у=b – решения.

27. ДУ I-ого порядка.

 у(x)- Ур-ие неразрешенное отн-о y’. Если  можно выразить y’, то y’=f(xy) будет Ур-ие разрешенное относительно y’.

F(x,y,c)=0- общий интеграл ур-ия, если оно задает ф-ию у(х), которая при подстановке в данное Ур-ие обращает его в тождество.

-общее решение ДУ, которое при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

y’=f(xy), введем обозначение: y’= , f(xy)= ,

-диф-ое уравнение I-ого порядка

Задача Коши: для ДУ I-ого порядка найти решение этого Уравнения удовл-ие начальным условиям : .

20. Формула Грина(формулировка теоремы и ее доказательство)

Считаем, что γ⁺сDcR²- гладкая замкнутая кривая без самопересечений, ориентированная против часовой стрелки. Пусть в обл. D определены и непр-ны функции P(x,y), Q(x,y), имеющие в D непр-ные частные производные ∂Q/∂x и ∂P/∂y

Теорема (ф-ла Грина) Пусть G плоская область ограниченная замкнутым гладким простым контуром γ⁺

Если область G может быть разбита на конечное число областей, являющихся правильными как в направлении ОХ, так и в направлении ОУ, то интеграл по γ⁺:

§P(x,y)dx+Q(x,y)dy=_G∫∫(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy при условии, что P,Q, ∂Q/∂x, ∂P/∂y– непрерывны на всей области G и на ее границе.

Замечание: ф-ла Грина аналогично формуле Ньютона-Лейбница связывает значение интеграла по области со значением некоторой функции на границе области        ∫f(x)dx=F(A)-F(B)

30.Однородные уравнения.

Опр. Функция f(x,y), называется однородной измерения α если для всех выполняется тождество.

Уравнение , называется однородным диф-ым уравнением, если  и  - однородные функции одинакового измерения.

,.

Подставим их в уравнение и получим

-нормальный вид однородного диф-ого уравнения, т.е. любое однородное уравнение можно привести к нормальному виду. Решается уравнение подстановкой:

- уравнение с разд-ся переменными- общий интеграл однородного уравнения.

33.ДИФ. УРАВНЕНИЕ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ.

Д.У. P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 (1)

наз-ся уравнением в полных дифференциалах если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x;y)/

Необходимым и достаточным условием, того ,что уравнение (1) будет уравнением в полных дифференциалах, выполнение равенства

dP/dy=dQ/dx

Действительно, если левая часть равенства (1) есть полный диф. функции U(x;y) ,то dU(x;y)=P(x;y)+Q(x;y)dy

dU(x;y)= dU/dx*dx + dU/dy*dy (3)

dU(x;y)= P(x;y)dx+Q(x;y)dy (4)

Сравнивая рав. 3 и 4

dU/dx=P(x;y) (5)

dU/dy=Q(x;y) (6)

dP/dy=d^2U/dxdy

dQ/dx=d^2U/dydx

Т.к для диф. ф-ции U(x;y) частная произв. 2-го порядка не зависят от порядка диф., то мы приходим к равенству (2). С учётом равенства(30 равенство (1) может быть зависимо как

dU(x;y)=0 (7)

U(x;y)=c (8)

Это и есть общее решение нашего д.у.

Для отыскания ф-ции U воспользуемся ф-лой (5)

dU=P(x;y)dx

U= ò(x;y)dx+C=òP(x;y)dx + j(y) (9)

Для отыскания ф-ции  j(y) продифференцируем равенство (9) по переменной y

dU/dy=d/dyòp(x;y)dx+j¢(y)

j¢(y)=Q(x;y)- d/dyòp(x;y)dx (10)

Проинтегрировав левую и правую часть рав. (10) мы получим значение ф-ции j(y):

j(y)=ò(Q(x;y)-d/dy*òP(x;y)dx)dy=C (11)

Подставим равенство (11) в (9)

òP(x;y)dx=ò(Q(x;y)-d/dy*òP(x;y)dx)dy +C=C

òP(x;y)dx+ò(Q(x;y)-d/dy*òP(x;y)dx)dy=C (12)

C=C-C получаем общее решение диф. уравнения.

35. Теорема (существования и единственности)

Пусть y’=f(xy). Если f(xy)-диф-ма по переменным х и у в области ,

и f ’(xy)- ограничена в этой области, то существует решение задачи Коши удовл. Начальным условиям , и при этом это решение единственно.

Теорема говорит о теоретическом существовании решения. Найти решение диф-ого уравнения путем конечного числа математических операций возможно только для определенного вида уравнений.

№7Площадь поверхности вращения . Её вычисление . Рассм. Поверх.  Которая получается при  вращении вокруг оси ОХ грфика функ. y=f(x)  заданным на [a,b]. T: a=x₀<x₁<x₂<…<xn=b ⌂x_i=x_i-x_(i-1)  i=1,n Л_т=max⌂x На кривой получаем точку М_i (x_i, f(x_i) При вращении ломаной с вершинами М₀, М₁, М₃...М_n вокруг оси ОХ получаем поверх. , составленную из бок. Поверх . усеченных конусов . l_i=M_(i-1)*M_i Обозначим l_i=M_(i-1)*M_i  S(x_i) – площадь поверх. Составленной из бок. Поверх. Усеченных конусов . S(x_i)=