Линейные и квадратичные функции многих переменных

1.  Пространство строк

Рассмотрим пространство строк длины n --  .   Строка есть частный случай матрицы и на этом пространстве ранее  мы определили  покомпонентные операции сложения и умножения на число. Для  строк  выполняются свойства, аналогичные как и для векторов,  – коммутативность сложения, ассоциативность сложения и умножения на числа, дистрибутивность, наличие нулевого элемента , для каждой строки  имеется противоположная строка  , а также унитарность: .

Множество L на котором определены операции сложения и умножения числа, подчиняющиеся вышеперечисленным правилам  называется линейным пространством. Таковым будет пространство функций, в частности пространство многочленов, пространство последовательностей. Крайний случай -- множество состоящее из одного нуля, -- также будет нулевым линейным пространством. Ранее было изучено линейное пространство векторов.

Подмножество H  линейного  пространства L называется  подпространством, если оно замкнуто относительно операций сложения и умножения.  Очевидно, что подпространство само по себе будет линейным пространством. Также очевидно, что всё пространство L и 0 будут подпространствами в L. Как пример подпространства в линейном пространстве всех векторов приведем совокупность  всех векторов, коллинеарных заданной плоскости (прямой). Другой пример -- множество строк вида   образует подпространство в . Более общо, совокупность всех решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство в пространстве всех строк. Действительно, пусть  -- однородная СЛАУ с матрицей  и столбцом переменных . Если строки  есть решения системы, то

Отсюда следует, что и    являются также решениями. Позже мы увидим, что любое подпространство в пространстве строк может быть описано как совокупность всех решений однородной СЛАУ.

Пусть , а  . Выражение  называется линейной комбинацией элементов . Эта линейная комбинация называется нетривиальной, если  хотя бы один из -ых  отличен от нуля.  Множество всех линейных комбинаций образует подпространство, обозначаемое   или  . Может так получится, что L совпадает с  . Тогда любой элемент из L представим в виде линейной комбинации вида  и говорят, что  порождают  L.

Элементы  называются  линейно зависимыми, если существует  нетривиальная линейная комбинация этих элементов, равная нулю. В противном случае элементы   называются  линейно независимыми. Например, 2(1,-1,1)+(2,1,-3)-(4,-1,-1)=(0,0,0) и, следовательно, строки (1,-1,1), (2,1,-3), (4,-1,-1) линейно зависимы. С другой стороны строки  (1,-1,1),(2,1,-3),(4,-1,0) линейно независимы, так как равенство

a (1,-1,1)+b (2,1,-3)+γ (4,-1,-1)=(0,0,0)

имеет место тогда и только тогда, когда

a +2b +4γ =0; -a +b -γ =0; a -3b -γ =0

и определитель этой системы не равен нулю. По правилу Крамара получаем лишь единственное решение a =b =γ =0, что и означает линейную независимость этих строк.

Докажем линейную независимость функций , при условии, что все  попарно различны. Равенство нулевой функции линейной комбинации  влечет то, что значение этой функции в нуле также как и значения всех производных в нуле равно 0:

Определитель Вандермонда этой системы не равен нулю в силу различности чисел . Применяя  правило Крамара, получаем, что  для всех j.

Два вектора  линейно зависимы тогда и только тогда когда они коллинеарны. Действительно, если , то сводя их на одну прямую, получаем соотношение  (или ), откуда следует линейная зависимость . Наоборот, если есть линейная зависимость  и, скажем, μ ≠ 0, то  и эти вектора коллинеарны по определению умножения вектора на число. Аналогично, три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

2.  Базис

Определение. Базисом   линейного пространства называется линейно  независимое семейство, через которое выражается любой другой элемент   в виде  линейной комбинации.

Стандартный базис в пространстве строк.  Пусть   -- строка длины , у которой на i-ом месте стоит 1, а на остальных местах нули (1≤  i≤  n). Эти строки образуют базис в пространстве , который называется стандартным. Это утверждение следует из разложения  в котором заложена и линейная независимость строк  и их полнота, т.е. то, что они порождают все пространство строк.

Два неколлинеарных вектора  на плоскости образуют базис пространства векторов на плоскости. Действительно, во-первых, они линейно независимы. Во-вторых, взяв произвольный вектор  на этой плоскости,  мы можем разложить его по векторам геометрически, проводя через конец вектора прямые параллельные векторам и . Тем самым мы получаем разложение , где . Но тогда длянекоторых чисел Окончательно получим разложение нужного вида . Аналогично, три некомпланарных вектора  в пространстве всех векторов образуют базис.  Докажем, что они порождают все пространство алгебраическим методом (а не геометрическим, как выше для двух векторов на плоскости), составив линейную систему 3× 3 для координат. Пусть  --  координаты вектора  и  -- заданный вектор. Возможность разложения векторав виде следует из того, что система

определена, ибо    (см. правило Крамара), а неравенство  выполняется, так как вектора  не компланарны. Напомним, что в пространстве векторов есть стандартный базис  .

Лемма. Из равенства , где  -- линейно независимая система элементов линейного пространства, вытекает, что .

Действительно, из указанного равенства следует, что

откуда в силу линейной независимости получаем  и тем самым . □

Как следствие, получаем, что если   -- базис и  -- произвольный элемент линейного пространства, то единственным образом представим в виде