Линейные и квадратичные функции многих переменных
Рассмотрим пространство строк длины n -- . Строка есть частный случай матрицы и на
этом пространстве ранее мы определили покомпонентные операции сложения и
умножения на число. Для строк выполняются свойства, аналогичные как и для
векторов, – коммутативность сложения, ассоциативность сложения и умножения на
числа, дистрибутивность, наличие нулевого элемента
, для каждой строки
имеется противоположная строка
, а также унитарность:
.
Множество L на котором определены операции сложения и умножения числа, подчиняющиеся вышеперечисленным правилам называется линейным пространством. Таковым будет пространство функций, в частности пространство многочленов, пространство последовательностей. Крайний случай -- множество состоящее из одного нуля, -- также будет нулевым линейным пространством. Ранее было изучено линейное пространство векторов.
Подмножество H линейного пространства L называется подпространством,
если оно замкнуто относительно операций сложения и умножения. Очевидно, что
подпространство само по себе будет линейным пространством. Также очевидно, что
всё пространство L и 0 будут подпространствами в L. Как пример подпространства
в линейном пространстве всех векторов приведем совокупность всех векторов,
коллинеарных заданной плоскости (прямой). Другой пример -- множество строк вида
образует подпространство в
. Более общо, совокупность всех решений
однородной системы линейных уравнений образует подпространство в пространстве
всех строк. Действительно, пусть
-- однородная СЛАУ с
матрицей
и
столбцом переменных
. Если строки
есть решения системы, то
Отсюда следует, что и
являются также
решениями. Позже мы увидим, что любое подпространство в пространстве строк
может быть описано как совокупность всех решений однородной СЛАУ.
Пусть , а
. Выражение
называется линейной
комбинацией элементов
. Эта линейная комбинация называется
нетривиальной, если хотя бы один из
-ых отличен от нуля. Множество всех
линейных комбинаций образует подпространство, обозначаемое
или
. Может так получится, что L совпадает с
.
Тогда любой элемент из L представим в виде линейной комбинации вида
и говорят, что
порождают L.
Элементы называются линейно зависимыми, если
существует нетривиальная линейная комбинация этих элементов, равная нулю. В
противном случае элементы
называются линейно независимыми.
Например, 2(1,-1,1)+(2,1,-3)-(4,-1,-1)=(0,0,0) и, следовательно, строки
(1,-1,1), (2,1,-3), (4,-1,-1) линейно зависимы. С другой стороны строки
(1,-1,1),(2,1,-3),(4,-1,0) линейно независимы, так как равенство
a (1,-1,1)+b (2,1,-3)+γ (4,-1,-1)=(0,0,0)
имеет место тогда и только тогда, когда
a +2b +4γ =0; -a +b -γ =0; a -3b -γ =0
и определитель этой системы не равен нулю. По правилу Крамара получаем лишь единственное решение a =b =γ =0, что и означает линейную независимость этих строк.
Докажем линейную независимость функций , при условии, что все
попарно различны. Равенство нулевой
функции линейной комбинации
влечет то, что значение этой функции в
нуле также как и значения всех производных в нуле равно 0:
Определитель Вандермонда этой системы не равен нулю в силу
различности чисел . Применяя правило Крамара, получаем, что
для всех j.
Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда
когда они коллинеарны. Действительно, если
, то сводя их на одну прямую, получаем
соотношение
(или
), откуда следует линейная зависимость
. Наоборот, если есть линейная зависимость
и, скажем, μ ≠ 0, то
и эти вектора коллинеарны по определению
умножения вектора на число. Аналогично, три вектора линейно зависимы тогда и
только тогда, когда они компланарны.
Определение. Базисом линейного пространства называется линейно независимое семейство, через которое выражается любой другой элемент в виде линейной комбинации.
Стандартный базис в пространстве строк. Пусть -- строка длины
, у
которой на i-ом месте стоит 1, а на остальных местах нули (1≤ i≤ n). Эти
строки образуют базис в пространстве
, который называется стандартным. Это утверждение
следует из разложения
в котором заложена
и линейная независимость строк
и их полнота, т.е. то, что они порождают
все пространство строк.
Два неколлинеарных вектора на плоскости образуют базис пространства
векторов на плоскости. Действительно, во-первых, они линейно независимы. Во-вторых,
взяв произвольный вектор
на этой плоскости, мы можем разложить его
по векторам
геометрически, проводя через конец
вектора
прямые параллельные векторам
и
. Тем самым мы получаем разложение
, где
. Но тогда
длянекоторых
чисел
Окончательно получим разложение
нужного вида
. Аналогично, три некомпланарных вектора
в пространстве всех векторов образуют
базис. Докажем, что они порождают все пространство алгебраическим методом (а
не геометрическим, как выше для двух векторов на плоскости), составив линейную
систему 3× 3 для координат. Пусть
-- координаты вектора
и
-- заданный вектор. Возможность разложения
вектора
в виде
следует из того, что система
определена, ибо (см. правило Крамара), а неравенство
выполняется, так как вектора
не компланарны. Напомним, что в
пространстве векторов есть стандартный базис
.
Лемма. Из равенства , где
-- линейно независимая система элементов
линейного пространства, вытекает, что
.
Действительно, из указанного равенства следует, что
откуда в силу линейной независимости получаем и тем самым
. □
Как следствие, получаем, что если -- базис и
-- произвольный элемент линейного
пространства, то
единственным образом представим в
виде
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.