Линейные и квадратичные функции многих переменных, страница 2

Коэффициенты  такого  разложения  называются  координатами элемента  в данном базисе.

Как узнать по заданным строкам

зависимы они или нет? Для решения этого вопроса рассмотрим матрицу , столбцами которой служат эти строки

Теорема.

1. Строки независимы тогда и только тогда, когда  и какой-либо минор размера  матрицы  не равен 0.

2. Строки образуют базис в пространстве всех строк в том и только том случае, если  и .

Доказательство. Зависимость строк означает существование ненулевого решения однородной СЛАУ

Матрица этой СЛАУ совпадает  как раз с . Согласно следствию метода Гаусса (примененного к однородной СЛАУ), если , т.е. число уравнений меньше чем число неизвестных, то  ненулевое решение заведомо существует. Итак, считаем далее, что . Если  какой-либо минор размера  матрицы  не равен 0, то это означает, что найдутся  уравнений системы (1), определитель матрицы которых не равен нулю. Но тогда по правилу Крамара у этой подсистемы, а значит и у всей системы (1) существует лишь нулевое решение. Наоборот, пусть система (1) имеет лишь нулевое решение. При приведении к ступенчатому виду свойство матрицы системы иметь все миноры размера  нулевыми не меняется (см. свойства определителей). Следовательно, не меняется  и свойство матрицы иметь минор размера  не равный 0. Итак, считаем, что СЛАУ (1) имеет ступенчатый            вид.  Так как по условию она имеет лишь нулевое решение, то все неизвестные – главные, и стоят они в углах ступенчатого вида. Тогда первые  строк матрицы  будут образовывать верхнетреугольную матрицу с ненулевыми элементами на главной диагонали. Они и дадут искомый ненулевой минор.

Утверждение 1 полностью доказано. Переходим к доказательству второго утверждения. Если строки образуют базис в пространстве всех строк длины , то по доказанному выше  и некоторый минор, скажем состоящий из первых  строк матрицы  не равен 0 . Если бы , то строку  мы не смогли бы разложить по , ибо СЛАУ  не  имеет решения. Действительно, первые  уравнений этой СЛАУ дают однородную сисатему с ненулевым определителем и поэтому . Но тогда следующая, -ая компонента линейной комбинации  не может быть равной 1, т.е. тому числу, что стоит на -ом месте у строки . Итак доказано, что .

Наоборот, если  и  , то независимость строк и существование разложения  для любой наперед заданной строки  вытекает из правила Крамара.□

Рассмотрим теперь произвольное подпространство  пространства строк длины . Пусть строки  взяты из , они независимы (тем самым  по теореме) и любое пополнение системы  новой строкой дает уже зависимую систему (свойство максимальности m).  Утверждаем, что  строки порождают  и тем самым образуют базис этого подпространства.  Действительно, семейство   будет линейно зависимым. Значит  для некоторых коэффициентов a  и  не все из которых равны нулю. Первый, a  определенно не равен 0, ибо тогда получили бы линейную зависимость системы . Следовательно,  -- искомое разложение.

Определение. Максимальное количество линейно независимых строк в подпространстве  называется размерностью этого подпространства и обозначается

Из доказанного выше получаем  для любого подпространства . Из доказанной выше теоремы вытекает, что если , то .

Существуют линейные пространства, например, пространство всех непрерывных функций на заданном отрезке, которые не имеют конечного базиса. Такие пространства называют бесконечномерными. Если же пространство имеет конечный базис, то его называют конечномерным. Пространство непрерывных функций будет бесконечно мерным, так как бесконечное семейство функций  линейно независимо (см. пример в параграфе 1)

3.  Евклидово пространство строк

Вспомним формулу скалярного умножения векторов -- . В пространстве строк  имеет возможность определить скалярное произведение посредством аналогичной формулы. Пусть  -- две строки длины n. Тогда по определению число