Линейные и квадратичные функции многих переменных, страница 4

3. Гомотетия в k раз -- линейный оператор  на пространстве L такой, что  для любого

4. Поворот каждого вектора на плоскости на угол a  относительно начала координат. Обозначим этот оператор через    . Линейным оператором будет также поворот каждого вектора  трехмерного пространства на угол a  относительно оси.

5.  Симметрия  каждого вектора  плоскости   относительно   начала   координат (≡  гомотетия с коэффициентом -1).

Симметрия каждого вектора плоскости относительно прямой ℓ , проходящей через начало координат (обозначаем  ).

Симметрия каждого вектора пространства относительно прямой  или  плоскости.

6. Проекция  пространства геометрических векторов на  прямую или на плоскость.

Пусть -- базис пространства L. Рассмотрим какой-либо линейный оператор . Разложим элементы  по базису :

Тогда   n× n-матрица будет  матрицей линейного оператора ψ  относительно базиса .

Предложение. Пусть  – матрица линейного оператора относительно базиса  и  -- некоторый элемент. Тогда столбец координат элемента в том же базисе равен .

Доказательство.

Столбец состоящий из сумм , где  как раз и совпадает с произведением  □

Заметим, что i-ая строка коэффициентов в разложении (2) ставится на место i-го столбца матрицы A. 

Примеры   матриц   геометрических   линейных преобразований плоскости

1. Поворот плоскости на угол  в стандартном базисе имеет матрицу

2. Гомотетия c коэффициентом  в любом базисе имеет матрицу

3. Проекция плоскости на ось  имеет матрицу   4. Симметрия плоскости относительно оси  имеет матрицу

Пример. Найдем образ вектора при повороте на :

Тем самым образ равен

В связи с этим возникает естественная задача: найти базис пространства L, в котором матрица заданного линейного оператора ψ  имеет наиболее простой вид.  Именно к такому классу задач относится  проблема диагонализации линейного оператора: найти базис, в котором матрица данного линейного оператора диагональна.

Диагональные матрицы удобны для вычислений. Очень часто для матричной функции F оказывается, что . Например, это так , если  -- возведение матрицы в некоторую степень или

-- матричная экспонента.

5.  Собственные числа и собственные вектора

Пусть  --  линейный оператор линейного пространства L. Ненулевой вектор  называется собственным вектором оператора  с собственным числом l , если .

Теорема. Пусть A -- матрица  линейного  оператора  относительно базиса ,  и

Вектор  будет собственным, с собственным числом l, тогда и только тогда, когда l  является корнем характеристического уравнения:

а столбец  - ненулевое решение следующей однородной системы линейных уравнений:

Диагонализация линейного оператора в случае простого спектра. Пусть \Aa -- линейный оператор пространства L. Собственные вектора, отвечающие разным собственным числам линейно независимы. Если элементы \f_1,\ldots,\f_n\in L являются собственными, с попарно различными собственными значениями l _1,… ,l _n, и n=dim L  то, во-первых, эти элементы образуют базис, а во-вторых, матрица оператора f в этом базисе имеет диагональный вид: \diag(\la_1,\ldots,\la_n).

Доказательство. Достаточно доказать линейную независимость собственных векторов \f_j с попарно различными собственными значениями l _j. Если допустить линейную зависимость вида x_1\f_1+… +x_n\f_n=0 то применяя оператор \Aa к этому соотношению n-1 раз, получим систему

x_1\f_1+… +x_n\f_n=0 x_1l _1\f_1+… +x_nl _n\f_n=0 ........................................................... x_1l _1^{n-1}\f_1+… +x_n\la_n^{n-1}\f_n=0}

Рассматривая эту систему относительно неизвестных x_j\f_j, видим, что ее определитель Вандермонда не равен 0. Следовательно, по правилу Крамара получаем равенства нулю всех x_j\f_j. Так как \f_j≠ 0, то x_j=0 для всех j.□