Инварианты кривых второго порядка и их канонические уравнения. Канонические уравнения

Инварианты кривых второго порядка и их канонические уравнения.

Глава I. Канонические уравнения

Параграф 1. Эллипс

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до данных точек и равна длине данного отрезка PQ, причем PQ>.

Точки и  называются фокусами эллипса, а расстояние между ними — фокальным расстоянием.

Если М — точка данного эллипса, то отрезки Mи F₂Mназываются фокальными радиусами точки М. Их длины также называются фокальными радиусами точки М. Пусть = 2c,  PQ = 2a. Так как PQ>, то а>с.

Из определения эллипса следует, что если точки  и совпадают, то эллипс является окружностью радиуса а. В этом случае фокусы эллипса совпадают с центром окружности. Таким образом, окружность есть частный случай эллипса.

Найдем уравнение эллипса  в прямоугольной системе координат , где О — середина отрезка , а (рис.1)(Если точки  и совпадают, то серединой «отрезка » считают точку ). В выбранной системе координат фокусы  и эллипса имеют координаты  (с, 0),

 ( — c, 0), поэтому фокальные радиусы произвольной точки М (х , у) эллипса равны:

,     (1.1)

По определению эллипса , поэтому .

Запишем это уравнение в виде .

Возводя его в квадрат и приводя подобные члены, получим: . Снова возводя в квадрат, после несложных преобразований получим:

     ,    (1.1.2)

где

.          (1.1.3)

Итак, доказано, что координаты любой точки эллипса удовлетворяют уравнению (1.1.2). Докажем обратное утверждение: каждая точка М, координаты - которой удовлетворяют уравнению (1.1.2), принадлежит эллипсу , т. е.

                                  Рис. 1

.

Подставив в формулы (1.1.1) значение из уравнения (1.1.2)                                                                                                                                                                                      и учитывая равенство (1.1.3), получим:

,    .

Из уравнения (1.1.2) следует, что, и так как , то , поэтому

        (1.1.4)

Следовательно, , т. е.  Итак, уравнение

(1.1.2) является уравнением эллипса. Оно называется каноническим уравнением эллипса.

Замечание. Если фокусы  и   совпадают, то с = 0, поэтому, как следует из (1.1.3), а =b. В этом случае уравнение (1.1.2) принимает вид: . Этим уравнением задается окружность радиуса а с центром в начале координат. Это полностью согласуется с утверждением, что окружность есть частный случай эллипса.

Параграф 2. Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний каждой из которых до данных точек и   равно длине данного отрезка PQ, причем PQ<  .

Точки и   называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними — фокальным расстоянием. Так как >PQ>0, то фокусы гиперболы — различные точки.

Если М — точка данной гиперболы, то отрезки Mи Mназываются фокальными радиусами точки М. Их длины,  также называются фокальными радиусами точки М.

Пусть ,. Так как PQ<, то а<с.

Найдем уравнение гиперболы  в прямоугольной системе координат , где О — середина отрезка  , a  . В этой системе координат фокусы  и   гиперболы имеют координаты  (с, 0),  ( — с, 0), поэтому фокальные радиусы Mи Mточки М вычисляются по формулам:

,.          (1.2.1)

По определению гиперболы , поэтому .

Запишем это уравнение в виде  

.

Возводя его в квадрат и приводя подобные члены, получаем:

Снова возводя в квадрат, после преобразований получим:

                                       (1.2.2)

где

                                         (1.2.3)

Итак, доказано, что координаты любой точки гиперболы  удовлетворяют уравнению (1.2.2). Докажем обратное утверждение: каждая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (1.2.2), принадлежит гиперболе - , т. е. . Подставив в формулы (1.2.1) значение  из   уравнения   (1.2.2)   и   учитывая равенство (1.2.3), получим: 

,

Из уравнения (1.2.2) следует, что , и, так как  , то

               (1.2.4)

Следовательно, , т. е. . Итак, уравнение  (1.2.2) является уравнением гиперболы . Оно называется каноническим уравнением гиперболы.

Параграф 3 .Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, расстояние каждой из которых до данной точки Fравно расстоянию до данной прямой d, не проходящей через точку F.

Точка Fназывается фокусом параболы, а прямая d— директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается через р. Очевидно, p = FD, где D— проекция точки Fна прямую d(рис. 2).

Рис.2

Найдем уравнение параболы  в прямоугольной системе координат  , где О — середина отрезка DF, а . В этой системе координат фокус Fимеет координаты , а директриса d—уравнение . Пусть

М (х, у) — произвольная точка плоскости. Вычислим MFи :

,               (1.3.1)

Если , то , поэтому

Возведя обе части в квадрат, получаем:

.             (1.3.2)

Итак, доказано, что координаты любой точки параболы   удовлетворяют уравнению (1.3.2).