Инварианты кривых второго порядка и их канонические уравнения. Канонические уравнения, страница 9

Итак, зная инварианты и формулы преобразования координат, можно вычислить полуоси эллипса и выяснить его расположение относительно исходной системы координат .

Пункт 2. Линии гиперболического типа ().

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.2.2:Уравнение (*) линии L гиперболического типа при   представляет собой гиперболу, а при — пару пересекающихся прямых.

Доказательство. Так как для уравнения (3.2.1)   (т.к ), то из  условия  вытекает, что ,  и имеют разные знаки, Для определенности будем считать ,  (случай ,  рассматривается аналогично). Тогда уравнение (3.2.1) может быть записано следующим образом:

при                        (3.2.5)

при                            (3.2.6)

при                      (3.2.7)

Очевидно, уравнение (3.2.5), отвечающее случаю , представляет собой каноническое уравнение гиперболы, для которой ось Оу является действительной осью, а ось Ох — мнимой осью, причем мнимая и действительная полуоси этой гиперболы соответственно     равны    и .  

Уравнение  (3.2.7), отвечающее случаю , также представляет собой каноническое уравнение гиперболы, для которой ось Ох является действительной осью, а ось Оу — мнимой осью, причем мнимая и действительная полуоси этой гиперболы соответственно равны  и .Уравнение (3.2.6), отвечающее случаю  , можно записать в виде

Этому последнему уравнению удовлетворяют лишь координаты точек, расположенных на прямых

Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить, что каждое из уравнений (3.2.5) —(3.2.7) эквивалентно исходному уравнению (*) соответственно для случаев , , , и поэтому сделанные выше геометрические выводы для уравнений (3.2.5) — (3.2.7) справедливы и для уравнения (*). Теорема доказана.

Замечание 1. Остановимся подробнее на случае, когда уравнение (*) гиперболического типа определяет гиперболу, т. е. когда .

Координаты () центра этой гиперболы представляют собой решение системы (3.1.1). Угол наклона  оси Ох' (являющейся либо действительной, либо мнимой осью гиперболы) со старой осью Ох может быть найден по формуле (3.1.6). Наконец, в процессе доказательства теоремы были указаны величины действительной и мнимой полуосей гиперболы. Их значения вычисляются через , , и . Коэффициенты  и  выражаются через коэффициенты   исходного уравнения (*) (см. первую и третью формулы (2.2.12); при этом нужно положить и ). Уравнения асимптот гиперболы без труда могут быть найдены по ее каноническим уравнениям (3.2.5) или (3.2.7).

Итак, зная инварианты и формулы преобразования координат, можно вычислить действительную и мнимую полуоси гиперболы и выяснить ее расположение относительно исходной системы координат .

Параграф 3. Упрощение уравнения линии параболического типа (). Классификация линий параболического типа.

Заметим, во-первых, что для уравнения (*) параболического типа инвариант отличен от нуля. В самом деле, если , то , т.е. . Так как

то, используя только что полученное выражение для , найдем что , откуда следует, что . Но, по предположению, по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Итак, .

Произведем стандартное упрощение уравнения (*):

1) если , то оставим систему координат неизменной и изменим лишь обозначение х на х', у на у',  на .

2) если , то перейдем к повернутой системе координат , вычисляя угол поворота по формуле (3.1.6) и используя при этом формулы (2.2.12). В обоих указанных случаях уравнение (*) примет вид (3.1.7). Так как для уравнения (3.1.7) , , то из условия  вытекает, что один из коэффициентов  и  равен нулю, а другой не равен нулю.

Для определенности будем считать  (случай рассматривается аналогично). При этом предположении , так как Итак, уравнение линии (*) параболического типа после стандартного упрощения может быть записано в следующей форме):