Попытаемся найти такую систему
координат (полученную
параллельным переносом системы
), в которой
уравнение данной линии L второго
порядка не содержало бы слагаемых
и
, т. е,
коэффициенты
и
были бы равны нулю. Пусть
и
— координаты начала О' искомой системы. Обращаясь к
формулам
,
найдем, что величины
,
представляют собой решение следующей системы линейных
уравнений:
(3.1.1)
Уравнения (3.1.1) называются уравнениями
центра линии второго порядка, а точка О' с координатами (,
), где х0 и у0 — решения
системы (3.1.1), называется центром этой линии.
Выясним геометрический смысл центра линии. Пусть начало координат перенесено в центр О'. Тогда уравнение линии Lпримет вид
(3.1.2)
Пусть точка M() расположена на L. Это
означает, что ее координаты
и
удовлетворяют уравнению (3.1.2). Очевидно, точка М*(
), симметричная с М относительно О', также
расположена на L, ибо ее координаты также удовлетворяют
уравнению (3.1.2). Таким образом, если у линии Lсуществует центр О', то относительно центра точки L располагаются симметрично парами, т. е.
центр линии L является ее центром симметрии.
Замечание 1. Если линия L второго порядка имеет центр, то инварианты и свободный член
в уравнении (3.1.2)
связаны соотношением
(3.1.3)
В самом деле, в силу инвариантности
получим в системе координат
Из последней формулы и вытекает соотношение (3.1.3).
Наличие центра у линии второго порядка
связано с разрешимостью уравнений центра (3.1.2). Если уравнения центра
имеют единственное решение, то линию L второго порядка будем называть центральной. Так как определитель системы (3.1.2)
равен , а необходимым и достаточным условием существования
единственного решения этой системы является неравенство нулю ее определителя,
то мы можем сделать следующий важный вывод: линии эллиптического типа (
>0) и
гиперболического типа (
<
0) и только эти линии являются центральными.
Замечание 2. Если начало координат перенесено в центр О' центральной линии Lвторого порядка, то уравнение этой линии будет иметь вид
(3.1.4)
Действительно, после переноса начала в
центр уравнение линии примет вид (3.1.2). Так как для центральной линии , то из формулы (3.1.3) найдем, что
. Подставляя это выражение для
в формулу (3.1.2),
мы получим уравнение (3.1.4).
Пункт 2. Стандартное упрощение любого уравнения линии второго порядка путем поворота осей.
Докажем, что любое уравнение
линии L второго порядка путем специального
поворота координатной системы может быть приведено к уравнению, в котором не
будет содержаться слагаемое , т. е. коэффициент
будет равен нулю. Такое упрощение уравнения второго порядка
называется стандартным.
Естественно, будем предполагать,
что в исходном уравнении коэффициент не равен нулю, ибо в
случае
поставленный
вопрос является решенным.
Пусть —
угол поворота искомой повернутой системы координат. Обращаясь к формуле
, найдем, что
искомый угол
является
решением следующего тригонометрического уравнения:
, (3.1.2)
в котором, по предположению, .
При этом предположении очевидно, что (3.1.5) имеет следующее решение:
(3.1.6)
Итак, если мы повернем систему координат
на угол , определенный из равенства (3.1.6), то в повернутой
системе координат уравнение линии Lне будет содержать слагаемого
и, кроме того, согласно формулам поворота системы координат,
. Иными словами, это уравнение будет иметь следующий вид:
. (3.1.7)
Параграф 2. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка ().
Классификация центральных линий.
Выводы, сделанные ранее, позволяют решить
вопрос о классификации всех центральных линий второго порядка. Решение этого
вопроса мы проведем по следующей схеме. Во-первых, путем переноса начала координат
в центр линии мы приведем ее уравнение к виду
(*). После этого
произведем стандартное упрощение уравнения (*):
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.